Modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2027 la matematică

Subiectul oficial de la Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, 2027, modelul oficial, varianta 1, cu baremul pe pași pentru toate cele 24 de cerințe. Rezolvă-l online sau ca simulare pe cronometru.

Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.

2 oretimp de lucru

24cerințe, cu barem pe pași

10pdin oficiu

Aceeași lucrare, pe timp, cu notă și verificare după barem.

Dă lucrarea ca simulare →

Subiectul I (30 de puncte)

Exercițiul 1 · 5p

Rezultatul calculului $16+6\cdot 2$ este egal cu:

$44$
$28$
$4$
$2$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$16+6\cdot 2=16+12=28$	5p

Exerciții de același tip: Calcule cu numere →

Exercițiul 2 · 5p

Știind că $6$ kg de mere costă $18$ lei, $2$ kg de mere de același fel costă:

$12$ lei
$9$ lei
$6$ lei
$3$ lei

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$1$ kg de mere costă $18:6=3$ lei, deci $2$ kg costă $2\cdot 3=6$ lei	5p

Exerciții de același tip: Rapoarte, proporții și procente →

Exercițiul 3 · 5p

Soluția ecuației $2-x=8$ este numărul întreg:

$-10$
$-6$
$6$
$10$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$2-x=8\Rightarrow x=2-8=-6$	5p

Exerciții de același tip: Numere și intervale →

Exercițiul 4 · 5p

Cel mai mare element al mulțimii $A=\{3{,}51;\ 3{,}5(1);\ 3{,}(51);\ 3{,}511\}$ este numărul:

$3{,}51$
$3{,}5(1)$
$3{,}(51)$
$3{,}511$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$3{,}(51)=3{,}5151\ldots$ , $3{,}5(1)=3{,}5111\ldots$ , deci $3{,}51<3{,}511<3{,}5(1)<3{,}(51)$	5p

Exerciții de același tip: Ecuații și numere raționale →

Exercițiul 5 · 5p

Patru elevi, Ioana, Sofia, Andrei și Dan, calculează media geometrică a numerelor $a=10\sqrt{5}$ și $b=\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ . Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos: $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Ioana}&\text{Sofia}&\text{Andrei}&\text{Dan}\\\hline 10\sqrt{5}&6\sqrt{5}&10&50\\\hline\end{array}$ Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

Ioana
Sofia
Andrei
Dan

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$m_g=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{10\sqrt{5}\cdot\dfrac{10}{\sqrt{5}}}=\sqrt{100}=10$ , rezultatul lui Andrei	5p

Exerciții de același tip: Radicali, modul și intervale →

Exercițiul 6 · 5p

În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de cărți vândute într-o librărie în primele cinci luni ale anului $2026$ .

Enunțul „Conform informațiilor din diagramă, numărul de cărți vândute în luna martie este egal cu un sfert din numărul de cărți vândute în luna februarie.” este:

adevărată
falsă

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: a)

Pas	Puncte
În februarie s-au vândut $2000$ de cărți, iar în martie $500$ , și $500=\dfrac{2000}{4}$ , deci enunțul este adevărat	5p

Exerciții de același tip: Date și afirmații →

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Exercițiul 1 · 5p

În figura alăturată, punctele $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ și $R$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $MN=NP=PQ=QR$ . Simetricul punctului $M$ față de punctul $P$ este punctul:

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: d)

Pas	Puncte
$MP=MN+NP=2\cdot MN$ și $PR=PQ+QR=2\cdot MN$ , deci $P$ este mijlocul segmentului $MR$ și simetricul lui $M$ față de $P$ este $R$	5p

Exerciții de același tip: Puncte și segmente →

Exercițiul 2 · 5p

În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $AB$ și $CD$ . Punctele $B$ și $C$ sunt de o parte și de alta a dreptei $DA$ . Dreapta $DA$ este perpendiculară pe dreapta $AC$ și măsura unghiului $ADC$ este egală cu $35^\circ$ . Măsura unghiului $CAB$ este egală cu:

$55^\circ$
$90^\circ$
$125^\circ$
$145^\circ$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$AB\parallel CD\Rightarrow\sphericalangle DAB=\sphericalangle ADC=35^\circ$ (alterne interne), deci $\sphericalangle CAB=\sphericalangle CAD+\sphericalangle DAB=90^\circ+35^\circ=125^\circ$	5p

Exerciții de același tip: Unghiuri →

Exercițiul 3 · 5p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ , cu $AB=AC$ și $BC=12$ cm. Perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $32$ cm. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

$8$ cm
$10$ cm
$12$ cm
$20$ cm

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$2\cdot AB+12=32$ , deci $AB=10$ cm	5p

Exerciții de același tip: Triunghiuri →

Exercițiul 4 · 5p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB=20$ cm, $AD=10$ cm și $\sphericalangle BAD=45^\circ$ . Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:

$50\sqrt{2}\text{ cm}^2$
$100\text{ cm}^2$
$100\sqrt{2}\text{ cm}^2$
$200\text{ cm}^2$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$\mathcal{A}_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot\sin 45^\circ=20\cdot 10\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\text{ cm}^2$	5p

Exerciții de același tip: Patrulatere →

Exercițiul 5 · 5p

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ . Punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt situate pe cerc, astfel încât arcele mici $AB$ , $BC$ și $AC$ au măsuri egale. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

$30^\circ$
$60^\circ$
$90^\circ$
$120^\circ$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
Fiecare arc are $\dfrac{360^\circ}{3}=120^\circ$ , iar unghiul înscris $ABC$ are măsura jumătate din arcul $AC$ , adică $60^\circ$	5p

Exerciții de același tip: Cercul →

Exercițiul 6 · 5p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ . Măsura unghiului dreptelor $AC$ și $DD'$ este egală cu:

$90^\circ$
$60^\circ$
$45^\circ$
$30^\circ$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: a)

Pas	Puncte
$DD'\perp(ABC)$ și $AC\subset(ABC)$ , deci $DD'\perp AC$ și unghiul dreptelor este de $90^\circ$	5p

Exerciții de același tip: Corpuri geometrice →

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Problema 1

Într-o cutie sunt pixuri. Dacă pixurile se împart în mod egal la $5$ copii, în cutie rămân $4$ pixuri. Dacă pixurile se împart în mod egal la $6$ copii, în cutie rămân $5$ pixuri.

a) · 2p

Este posibil ca în cutie să fie exact $26$ de pixuri? Justifică răspunsul dat.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Restul împărțirii lui $26$ la $5$ este $1$ , deci dacă pixurile se împart în mod egal la $5$ copii, în cutie va rămâne un pix	1p
Cum $1\ne 4$ , deducem că în cutie nu pot fi exact $26$ de pixuri	1p

b) · 3p

Știind că numărul de pixuri din cutie este cuprins între $80$ și $100$ , determină câte pixuri sunt în cutie.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$x=5\cdot a+4$ și $x=6\cdot b+5$ , unde $x$ reprezintă numărul de pixuri din cutie	1p
$x+1=5(a+1)$ și $x+1=6(b+1)$ , deci $x+1$ este un multiplu comun al numerelor $5$ și $6$	1p
Cel mai mic multiplu comun al numerelor $5$ și $6$ este $30$ , deci $(x+1)\,\vdots\,30$ și, cum $80<x<100\Rightarrow x+1=90\Rightarrow x=89$	1p

Exerciții de același tip: Probleme cu text →

Problema 2

Se consideră expresia $E(x)=\left(\dfrac{x}{x^3-x}-\dfrac{1}{x-1}\right)\cdot\dfrac{x^2+2x+1}{x}$ , unde $x$ este număr real, $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$ .

a) · 2p

Arată că $\dfrac{x}{x^3-x}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{(1-x)(x+1)}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\dfrac{x}{x^3-x}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x\left(x^2-1\right)}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}=$	1p
$=\dfrac{1-x-1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{(1-x)(x+1)}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$	1p

b) · 3p

Arată că $A=E(2)\cdot E(3)\cdot E(4)\cdot E(5)$ este număr natural.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$E(x)=\dfrac{x}{(1-x)(x+1)}\cdot\dfrac{(x+1)^2}{x}=\dfrac{x+1}{1-x}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$	1p
$A=-\dfrac{3}{1}\cdot\left(-\dfrac{4}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{6}{4}\right)$	1p
$A=15$ , care este număr natural	1p

Exerciții de același tip: Expresii algebrice →

Problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x-2$ .

a) · 2p

Arată că $f(0)+f(2)=-2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(0)=-2$	1p
$f(2)=0$ , deci $f(0)+f(2)=-2$	1p

b) · 3p

Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$ , respectiv $B$ . Știind că punctele $A$ , $B$ și $C(2a,a-3)$ sunt coliniare, unde $a$ este număr real, arată că $\mathcal{A}_{\Delta AOC}=2\cdot\mathcal{A}_{\Delta AOB}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(2,0)$ și $B(0,-2)$	1p
Punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, deci punctul $C$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ , de unde $f(2a)=a-3\Rightarrow a=-1$ , deci $C(-2,-4)$	1p
$\mathcal{A}_{\Delta AOB}=\dfrac{OA\cdot OB}{2}=2$ , $\mathcal{A}_{\Delta AOC}=\dfrac{d(C,Ox)\cdot OA}{2}=4=2\cdot\mathcal{A}_{\Delta AOB}$	1p

Exerciții de același tip: Funcții →

Problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB=9$ cm și $BC=6$ cm. Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $CD$ , $BC$ , respectiv $AD$ . Dreapta $AM$ intersectează dreapta $CP$ în punctul $G$ .

a) · 2p

Demonstrează că punctul $G$ aparține dreptei $BD$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În triunghiul $ADC$ , $AM$ și $CP$ sunt mediane, deci punctul $G$ este centrul de greutate	1p
$\{O\}=AC\cap BD$ , $O$ mijlocul lui $AC$ , de unde obținem că punctele $D$ , $G$ și $O$ sunt coliniare, deci punctul $G$ se află pe dreapta $BD$	1p

b) · 3p

Demonstrează că lungimea segmentului $GN$ este egală cu $\sqrt{37}$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$GQ\perp BC$ , $Q\in BC$ , deci $GQ\parallel DC$ , $\Delta BGQ\sim\Delta BDC\Rightarrow\dfrac{BQ}{BC}=\dfrac{BG}{BD}=\dfrac{GQ}{DC}$	1p
$\dfrac{DG}{DO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{DG}{BD}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ , de unde obținem $GQ=6$ cm, $BQ=4$ cm, deci $NQ=1$ cm	1p
În triunghiul $NGQ$ , dreptunghic în $Q$ , $GN=\sqrt{GQ^2+QN^2}=\sqrt{37}$ cm	1p

Exerciții de același tip: Geometrie plană: triunghiuri și patrulatere →

Problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ , cu $AB\parallel CD$ , $CD=4$ cm, $AD=6$ cm, iar punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât dreapta $DM$ să fie perpendiculară pe dreapta $AD$ și $AM=12$ cm.

a) · 2p

Determină măsura unghiului $DAB$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În triunghiul $DAM$ , dreptunghic în $D$ , $\cos\left(\sphericalangle DAM\right)=\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{1}{2}$	1p
$\sphericalangle DAM=60^\circ$	1p

b) · 3p

Determină lungimea segmentului $BM$ , știind că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $\dfrac{57\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$DN\perp AB$ , $N\in AB$ , deci în triunghiul dreptunghic $AND$ , $\sin\left(\sphericalangle NAD\right)=\dfrac{DN}{AD}\Rightarrow DN=3\sqrt{3}$ cm	1p
$\mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{(AB+CD)\cdot DN}{2}$ , de unde obținem $AB=15$ cm	1p
$MB=AB-AM=3$ cm	1p

Exerciții de același tip: Geometrie plană: arii și asemănare →

Problema 6

În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ , cu $AB=12$ cm și măsura unghiului $ADC$ egală cu $60^\circ$ . Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$ , iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$ , $VO=6$ cm. Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt situate pe segmentele $VA$ , $VD$ , respectiv $VO$ astfel încât $\dfrac{VM}{VA}=\dfrac{2}{3}$ , $DN=4$ cm și $PO=\dfrac{VP}{2}$ .

a) · 2p

Arată că lungimea segmentului $OD$ este egală cu $6\sqrt{3}$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$ABCD$ romb, $AD=DC$ , de unde obținem că triunghiul $ADC$ este echilateral	1p
$DO$ înălțime în triunghiul $ADC$ , deci $DO=6\sqrt{3}$ cm	1p

b) · 3p

Determină distanța dintre planele $(MNP)$ și $(ABC)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În triunghiul $VOD$ , dreptunghic în $O$ , $VD=\sqrt{VO^2+OD^2}=12$ cm și, cum $DN=4$ cm $\Rightarrow\dfrac{VN}{VD}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{VM}{VA}$ , deci $MN\parallel AD$	1p
$\dfrac{VP}{VO}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{VM}{VA}$ , deci $MP\parallel AO$ și, cum $MN\cap MP=\{M\}$ , $AD\cap AO=\{A\}$ , obținem $(MNP)\parallel(ABC)$	1p
$VO\perp(MNP)$ și, cum $VO\cap(MNP)=\{P\}$ , obținem $d\big((MNP),(ABC)\big)=PO=\dfrac{VO}{3}=2$ cm	1p

Exerciții de același tip: Geometrie în spațiu →

Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF)).

Alte subiecte Evaluarea Națională

Toate subiectele →