Geometrie în spațiu · Evaluarea Națională

Geometrie în spațiu la Evaluare Națională mate (Subiectul al III-lea, problema 6): ce se dă de obicei (cubul și prisma, unghiuri între drepte, distanța de la un punct la un plan) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La Evaluare Națională la matematică, Subiectul al III-lea · Problema 6 este mereu despre geometrie în spațiu. Cel mai des apar: cubul și prisma, unghiuri între drepte, distanța de la un punct la un plan. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

52de cerințe oficiale pe MateSim

26de lucrări, 2021–2027

Problema 6Subiectul al III-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 52 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Geometrie în spațiu: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2027 la matematică · Subiectul al III-lea, problema 6

În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ , cu $AB=12$ cm și măsura unghiului $ADC$ egală cu $60^\circ$ . Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$ , iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$ , $VO=6$ cm. Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt situate pe segmentele $VA$ , $VD$ , respectiv $VO$ astfel încât $\dfrac{VM}{VA}=\dfrac{2}{3}$ , $DN=4$ cm și $PO=\dfrac{VP}{2}$ .

a) · 2p

Arată că lungimea segmentului $OD$ este egală cu $6\sqrt{3}$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$ABCD$ romb, $AD=DC$ , de unde obținem că triunghiul $ADC$ este echilateral	1p
$DO$ înălțime în triunghiul $ADC$ , deci $DO=6\sqrt{3}$ cm	1p

b) · 3p

Determină distanța dintre planele $(MNP)$ și $(ABC)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În triunghiul $VOD$ , dreptunghic în $O$ , $VD=\sqrt{VO^2+OD^2}=12$ cm și, cum $DN=4$ cm $\Rightarrow\dfrac{VN}{VD}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{VM}{VA}$ , deci $MN\parallel AD$	1p
$\dfrac{VP}{VO}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{VM}{VA}$ , deci $MP\parallel AO$ și, cum $MN\cap MP=\{M\}$ , $AD\cap AO=\{A\}$ , obținem $(MNP)\parallel(ABC)$	1p
$VO\perp(MNP)$ și, cum $VO\cap(MNP)=\{P\}$ , obținem $d\big((MNP),(ABC)\big)=PO=\dfrac{VO}{3}=2$ cm	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 1 · Subiectul al III-lea, problema 6

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB=4$ cm și $AA'=4\sqrt{2}$ cm.

a) · 2p

Calculează aria laterală a prismei $ABCDA'B'C'D'$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\mathcal{A}_\ell=4\cdot AB\cdot AA'=4\cdot 4\cdot 4\sqrt{2}=$	1p
$=64\sqrt{2}\text{ cm}^2$	1p

b) · 3p

Arată că distanța de la punctul $A'$ la planul $(C'BD)$ este egală cu $\dfrac{8\sqrt{10}}{5}$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$BD\perp AC$ , $BD\perp AA'$ și, cum $AC\cap AA'=\{A\}$ , obținem $BD\perp(AA'C)$	1p
$A'P\perp C'O$ , $P\in C'O$ , unde $\{O\}=AC\cap BD$ , $A'P\subset(AA'C)\Rightarrow A'P\perp BD$ și, cum $C'O\cap BD=\{O\}\Rightarrow A'P\perp(C'BD)$	1p
$\mathcal{A}_{A'OC'}=\dfrac{A'P\cdot C'O}{2}$ și, cum $\mathcal{A}_{A'OC'}=16\text{ cm}^2$ și $C'O=2\sqrt{10}$ cm, obținem $A'P=\dfrac{8\sqrt{10}}{5}$ cm	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 5 · Subiectul al III-lea, problema 6

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA=AB=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

a) · 2p

Arată că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $288\sqrt{2}\text{ cm}^3$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$AC\cap BD=\{O\}$ , $VO\perp(ABC)$ , $VO=6\sqrt{2}$ cm	1p
$\mathcal{V}=\dfrac{\mathcal{A}_{ABCD}\cdot VO}{3}=\dfrac{144\cdot 6\sqrt{2}}{3}=288\sqrt{2}\text{ cm}^3$	1p

b) · 3p

Determină tangenta unghiului dintre dreapta $MN$ și planul $(VAD)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$MN\perp(ABC)$ , $AD\subset(ABC)$ , deci $MN\perp AD$ ; $NQ\perp AD$ , $Q\in AD$ și, cum $MN\cap NQ=\{N\}$ , obținem $AD\perp(QNM)$	1p
$NT\perp MQ$ , $T\in MQ$ și $NT\perp AD$ , $MQ\cap AD=\{Q\}$ , de unde obținem $NT\perp(VAD)$ , deci $\sphericalangle (MN,(VAD))=\sphericalangle NMQ$	1p
$MN=3\sqrt{2}$ cm, $NQ=3$ cm, de unde obținem $\operatorname{tg}(\sphericalangle NMQ)=\dfrac{NQ}{MN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	1p

Exerciții oficiale, cu barem

Celelalte poziții Evaluarea Națională