Geometrie plană: triunghiuri și patrulatere · Evaluarea Națională

Geometrie plană: triunghiuri și patrulatere la Evaluare Națională mate (Subiectul al III-lea, problema 4): ce se dă de obicei (triunghiuri, pătrat și trapez, distanța de la un punct la o dreaptă) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La Evaluare Națională la matematică, Subiectul al III-lea · Problema 4 este mereu despre geometrie plană: triunghiuri și patrulatere. Cel mai des apar: triunghiuri, pătrat și trapez, distanța de la un punct la o dreaptă. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

52de cerințe oficiale pe MateSim

26de lucrări, 2021–2027

Problema 4Subiectul al III-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 52 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Geometrie plană: triunghiuri și patrulatere: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2027 la matematică · Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB=9$ cm și $BC=6$ cm. Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $CD$ , $BC$ , respectiv $AD$ . Dreapta $AM$ intersectează dreapta $CP$ în punctul $G$ .

a) · 2p

Demonstrează că punctul $G$ aparține dreptei $BD$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În triunghiul $ADC$ , $AM$ și $CP$ sunt mediane, deci punctul $G$ este centrul de greutate	1p
$\{O\}=AC\cap BD$ , $O$ mijlocul lui $AC$ , de unde obținem că punctele $D$ , $G$ și $O$ sunt coliniare, deci punctul $G$ se află pe dreapta $BD$	1p

b) · 3p

Demonstrează că lungimea segmentului $GN$ este egală cu $\sqrt{37}$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$GQ\perp BC$ , $Q\in BC$ , deci $GQ\parallel DC$ , $\Delta BGQ\sim\Delta BDC\Rightarrow\dfrac{BQ}{BC}=\dfrac{BG}{BD}=\dfrac{GQ}{DC}$	1p
$\dfrac{DG}{DO}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow\dfrac{DG}{BD}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ , de unde obținem $GQ=6$ cm, $BQ=4$ cm, deci $NQ=1$ cm	1p
În triunghiul $NGQ$ , dreptunghic în $Q$ , $GN=\sqrt{GQ^2+QN^2}=\sqrt{37}$ cm	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 1 · Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6$ cm. Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM=3$ cm.

a) · 2p

Arată că $AM=3\sqrt{3}$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$OM$ este mediană în triunghiul isoscel $AOB$ , deci $OM$ este înălțime $\Rightarrow OM\perp AB$	1p
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$ cm	1p

b) · 3p

Demonstrează că $AC^2+BD^2=144\text{ cm}^2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Fie $BE$ diametru; atunci $\sphericalangle BAE=\sphericalangle BDE=90^\circ$	1p
$AE\perp AB$ și, cum $CD\perp AB$ , obținem $AE\parallel CD$ , deci arcele $AC$ și $DE$ sunt congruente $\Rightarrow AC=DE$	1p
În triunghiul $BDE$ , dreptunghic în $D$ , $DE^2+BD^2=BE^2$ , deci $AC^2+BD^2=12^2=144\text{ cm}^2$	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 5 · Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB=AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\sphericalangle BDC=90^\circ$ și $\sphericalangle BCD=60^\circ$ .

a) · 2p

Demonstrează că $AO=CD$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$AO$ este mediană în triunghiul dreptunghic $ABC$ , deci $AO=\dfrac{BC}{2}$	1p
În triunghiul dreptunghic $DBC$ , $\sphericalangle DBC=30^\circ$ , deci $CD=\dfrac{BC}{2}$ , de unde obținem $AO=CD$	1p

b) · 3p

Arată că $AB=CE$ , unde punctul $E$ aparține segmentului $BD$ , astfel încât $\sphericalangle BCE=15^\circ$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\sphericalangle ECD=\sphericalangle BCD-\sphericalangle BCE=45^\circ$	1p
Triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel, cu $\sphericalangle AOB=90^\circ$	1p
$\triangle AOB\equiv\triangle CDE$ , de unde obținem $AB=CE$	1p

Exerciții oficiale, cu barem

Celelalte poziții Evaluarea Națională