Sari la conținut

MateSim

Expresii algebrice · Evaluarea Națională

Expresii algebrice la Evaluare Națională mate (Subiectul al III-lea, problema 2): ce se dă de obicei (rapoarte algebrice, descompunere în factori, valori întregi ale unei expresii) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La Evaluare Națională la matematică, Subiectul al III-lea · Problema 2 este mereu despre expresii algebrice. Cel mai des apar: rapoarte algebrice, descompunere în factori, valori întregi ale unei expresii. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

52de cerințe oficiale pe MateSim

26de lucrări, 2021–2027

Problema 2Subiectul al III-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 52 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Expresii algebrice: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2027 la matematică · Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=\left(\dfrac{x}{x^3-x}-\dfrac{1}{x-1}\right)\cdot\dfrac{x^2+2x+1}{x}$ , unde $x$ este număr real, $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$ .

a) · 2p

Arată că $\dfrac{x}{x^3-x}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{(1-x)(x+1)}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\dfrac{x}{x^3-x}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x\left(x^2-1\right)}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}=$	1p
$=\dfrac{1-x-1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{(1-x)(x+1)}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$	1p

b) · 3p

Arată că $A=E(2)\cdot E(3)\cdot E(4)\cdot E(5)$ este număr natural.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$E(x)=\dfrac{x}{(1-x)(x+1)}\cdot\dfrac{(x+1)^2}{x}=\dfrac{x+1}{1-x}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -1$ , $x\ne 0$ și $x\ne 1$	1p
$A=-\dfrac{3}{1}\cdot\left(-\dfrac{4}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{6}{4}\right)$	1p
$A=15$ , care este număr natural	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 1 · Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{7-3x}{(x-2)(x-3)}$ , unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 3$ .

a) · 2p

Arată că $E(x)=\dfrac{x-2}{x-3}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne 2$ și $x\ne 3$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$E(x)=\dfrac{x^2-2x+x-3+7-3x}{(x-2)(x-3)}=$	1p
$=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x-2}{x-3}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne 2$ și $x\ne 3$	1p

b) · 3p

Arată că numărul $A=\left(E(4)\right)^n+\left(E(4)\right)^{n+3}$ este divizibil cu $18$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$E(4)=2$	1p
$A=2^n+2^{n+3}=2^n\left(1+2^3\right)=2^n\cdot 9$	1p
Cum $n$ este număr natural nenul, $2^n$ se divide cu $2$ , deci numărul $A=2^n\cdot 9$ este divizibil cu $18$	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 5 · Subiectul al III-lea, problema 2

Se consideră expresia $E(x)=\left(\dfrac{7}{x^2-4}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x+2}\right):\dfrac{5\left(x^2+2x+1\right)}{x-2}$ , unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ , $x\ne -1$ și $x\ne 2$ .

a) · 2p

Arată că $\dfrac{7}{x^2-4}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -2$ și $x\ne 2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\dfrac{7}{x^2-4}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{7+2(x+2)+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}=$	1p
$=\dfrac{5x+5}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -2$ și $x\ne 2$	1p

b) · 3p

Determină numărul natural $n$ , $n\ne 2$ , pentru care $E(n)=\dfrac{1}{6}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$E(x)=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -2$ , $x\ne -1$ și $x\ne 2$	1p
$E(n)=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow(n+1)(n+2)=6$	1p
Cum $n$ este număr natural, obținem $n=1$	1p

Celelalte poziții Evaluarea Națională