Geometrie plană: arii și asemănare · Evaluarea Națională

Geometrie plană: arii și asemănare la Evaluare Națională mate (Subiectul al III-lea, problema 5): ce se dă de obicei (asemănarea triunghiurilor, arii de patrulatere, cercul) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La Evaluare Națională la matematică, Subiectul al III-lea · Problema 5 este mereu despre geometrie plană: arii și asemănare. Cel mai des apar: asemănarea triunghiurilor, arii de patrulatere, cercul. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

52de cerințe oficiale pe MateSim

26de lucrări, 2021–2027

Problema 5Subiectul al III-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 52 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Geometrie plană: arii și asemănare: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2027 la matematică · Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ , cu $AB\parallel CD$ , $CD=4$ cm, $AD=6$ cm, iar punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât dreapta $DM$ să fie perpendiculară pe dreapta $AD$ și $AM=12$ cm.

a) · 2p

Determină măsura unghiului $DAB$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În triunghiul $DAM$ , dreptunghic în $D$ , $\cos\left(\sphericalangle DAM\right)=\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{1}{2}$	1p
$\sphericalangle DAM=60^\circ$	1p

b) · 3p

Determină lungimea segmentului $BM$ , știind că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $\dfrac{57\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$DN\perp AB$ , $N\in AB$ , deci în triunghiul dreptunghic $AND$ , $\sin\left(\sphericalangle NAD\right)=\dfrac{DN}{AD}\Rightarrow DN=3\sqrt{3}$ cm	1p
$\mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{(AB+CD)\cdot DN}{2}$ , de unde obținem $AB=15$ cm	1p
$MB=AB-AM=3$ cm	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 1 · Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB=10$ cm și $AD=8$ cm. Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

a) · 2p

Calculează perimetrul patrulaterului $ATND$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$DN\parallel AT$ , $DN=AT=5$ cm $\Rightarrow ATND$ este paralelogram	1p
$P_{ATND}=2\cdot AT+2\cdot AD=2\cdot 5+2\cdot 8=26$ cm	1p

b) · 3p

Calculează valoarea raportului $\dfrac{AQ}{QM}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$ST$ este linie mijlocie în triunghiul $ABM\Rightarrow ST=2$ cm, deci $SN=6$ cm, unde $\{S\}=AM\cap NT$	1p
$SN\parallel BM\Rightarrow\triangle QNS\sim\triangle QBM\Rightarrow\dfrac{QS}{QM}=\dfrac{SN}{MB}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{SM}{QM}=\dfrac{5}{2}$	1p
Cum $AM=2\cdot SM\Rightarrow\dfrac{AM}{QM}=5$ , de unde obținem $\dfrac{AQ}{QM}=4$	1p

Evaluarea Națională 2026 la matematică, varianta 5 · Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB=6$ cm și $BC=3$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

a) · 2p

Arată că $CP=2\cdot AP$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$AM\parallel DC\Rightarrow\triangle APM\sim\triangle CPD$	1p
$\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow CP=2\cdot AP$	1p

b) · 3p

Determină lungimea segmentului $MT$ , unde punctul $T$ este mijlocul segmentului $CP$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $B$ , $AC=3\sqrt{5}$ cm	1p
Triunghiurile $AMD$ și $BMC$ sunt dreptunghice isoscele, de unde obținem $\sphericalangle PMC=90^\circ$	1p
În triunghiul dreptunghic $PMC$ , $CP=2\sqrt{5}$ cm, $MT$ este mediană, deci $MT=\dfrac{CP}{2}=\sqrt{5}$ cm	1p

Exerciții oficiale, cu barem

Celelalte poziții Evaluarea Națională