Modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2025 la matematică

Subiectul oficial de la Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, 2025, modelul oficial, varianta 1, cu baremul pe pași pentru toate cele 24 de cerințe. Rezolvă-l online sau ca simulare pe cronometru.

Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.

2 oretimp de lucru

24cerințe, cu barem pe pași

10pdin oficiu

Aceeași lucrare, pe timp, cu notă și verificare după barem.

Dă lucrarea ca simulare →

Subiectul I (30 de puncte)

Exercițiul 1 · 5p

Rezultatul calculului $(40+2\cdot 5):5$ este:

$6$
$10$
$38$
$42$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$(40+10):5=50:5=10$	5p

Exerciții de același tip: Calcule cu numere →

Exercițiul 2 · 5p

Dacă $\dfrac{x}{9}=\dfrac{2}{3}$ , atunci numărul $x$ este egal cu:

$\dfrac{27}{2}$
$6$
$2$
$\dfrac{1}{6}$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$3x=18$ , deci $x=6$	5p

Exerciții de același tip: Rapoarte, proporții și procente →

Exercițiul 3 · 5p

Se consideră mulțimile $A=\{0,1,2,3,4,5\}$ și $B=\{2,4,6,8\}$ . Reuniunea mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea:

$\{2,4\}$
$\{0,1,3,5\}$
$\{1,2,3,4,5,6,8\}$
$\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: d)

Pas	Puncte
$A\cup B$ conține toate elementele celor două mulțimi: $\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$	5p

Exerciții de același tip: Numere și intervale →

Exercițiul 4 · 5p

Scrierea sub formă de fracție zecimală a fracției $\dfrac{5}{6}$ este:

$0{,}8$
$0{,}83$
$0{,}8(3)$
$0{,}(83)$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$5:6=0{,}8333\ldots=0{,}8(3)$	5p

Exerciții de același tip: Ecuații și numere raționale →

Exercițiul 5 · 5p

Patru elevi, Alina, Bogdan, Corina și Dan, au calculat media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{3^2+4^2}$ și $b=45$ . Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos: $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Alina}&\text{Bogdan}&\text{Corina}&\text{Dan}\\\hline 15&25&26&50\\\hline\end{array}$ Rezultatul corect a fost obținut de către:

Alina
Bogdan
Corina
Dan

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$a=\sqrt{25}=5$ , deci $m_a=\dfrac{5+45}{2}=25$ : rezultatul corect l-a obținut Bogdan	5p

Exerciții de același tip: Radicali, modul și intervale →

Exercițiul 6 · 5p

Se consideră numărul real $a=11-5\sqrt{5}$ . Enunțul „Numărul real $a$ este pozitiv.” este:

adevărat
fals

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$5\sqrt{5}=\sqrt{125}>\sqrt{121}=11$ , deci $a<0$ și enunțul este fals	5p

Exerciții de același tip: Date și afirmații →

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Exercițiul 1 · 5p

În figura alăturată punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=2\cdot AB$ și $AD=2\cdot AC$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și $AM=2$ cm. Lungimea segmentului $MD$ este egală cu:

$4$ cm
$6$ cm
$14$ cm
$16$ cm

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$AB=4$ cm, $AC=8$ cm, $AD=16$ cm, deci $MD=AD-AM=14$ cm	5p

Exerciții de același tip: Puncte și segmente →

Exercițiul 2 · 5p

În figura alăturată punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare, unghiul $BOC$ este drept, iar măsura unghiului $AOC$ este egală cu $30^\circ$ . Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

$120^\circ$
$130^\circ$
$150^\circ$
$180^\circ$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: a)

Pas	Puncte
$\sphericalangle AOB=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ , deci $\sphericalangle BOD=180^\circ-60^\circ=120^\circ$	5p

Exerciții de același tip: Unghiuri →

Exercițiul 3 · 5p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ , cu măsura unghiului $ACB$ egală cu $60^\circ$ . Semidreapta $CM$ este bisectoarea unghiului $ACB$ și $CM=8$ cm. Lungimea laturii $AB$ este egală cu:

$4\sqrt{3}$ cm
$8$ cm
$12$ cm
$8\sqrt{3}$ cm

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: c)

Pas	Puncte
$\sphericalangle ACM=30^\circ$ , deci $AC=CM\cdot\cos 30^\circ=4\sqrt{3}$ cm și $AB=AC\cdot\operatorname{tg}60^\circ=12$ cm	5p

Exerciții de același tip: Triunghiuri →

Exercițiul 4 · 5p

În figura alăturată este reprezentat patrulaterul $ABCD$ . Triunghiurile $ADC$ și $ABC$ sunt dreptunghice isoscele, cu $AD=CD$ și $AC=BC$ . Aria triunghiului $ABC$ este egală cu $288\text{ cm}^2$ . Aria triunghiului $ADC$ este egală cu:

$72\text{ cm}^2$
$144\text{ cm}^2$
$288\text{ cm}^2$
$576\text{ cm}^2$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: b)

Pas	Puncte
$\dfrac{AC^2}{2}=288$ , deci $AC=24$ cm; în triunghiul $ADC$ , $AD=CD=12\sqrt{2}$ cm și aria este $\dfrac{(12\sqrt{2})^2}{2}=144\text{ cm}^2$	5p

Exerciții de același tip: Patrulatere →

Exercițiul 5 · 5p

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, punctul $O$ aparține segmentului $AB$ și dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele. Dacă măsura arcului mic $BD$ este egală cu $40^\circ$ , atunci măsura unghiului $COD$ este egală cu:

$40^\circ$
$60^\circ$
$80^\circ$
$100^\circ$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: d)

Pas	Puncte
Arcele cuprinse între coardele paralele sunt congruente, deci arcul $AC$ are tot $40^\circ$ , iar arcul $CD$ are $180^\circ-80^\circ=100^\circ$ ; $\sphericalangle COD=100^\circ$	5p

Exerciții de același tip: Cercul →

Exercițiul 6 · 5p

În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$ . Dacă $AB=4$ cm, atunci aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu:

$4\sqrt{3}\text{ cm}^2$
$8\sqrt{3}\text{ cm}^2$
$24\text{ cm}^2$
$16\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Explicația și răspunsul

Răspuns corect: d)

Pas	Puncte
Fețele sunt $4$ triunghiuri echilaterale cu latura $4$ cm: $\mathcal{A}_t=4\cdot\dfrac{16\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\text{ cm}^2$	5p

Exerciții de același tip: Corpuri geometrice →

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Problema 1

O echipă de muncitori a construit o pistă pentru biciclete în $3$ zile. În prima zi a construit $30\%$ din lungimea pistei, în a doua zi $60\%$ din ce a rămas și în ultima zi cu $7$ km mai puțin decât în a doua zi.

a) · 2p

Verifică dacă în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi. Justifică răspunsul dat.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\dfrac{30}{100}\cdot x$ se construiește în prima zi, unde $x$ este lungimea pistei	1p
$\dfrac{60}{100}\cdot\dfrac{70}{100}\cdot x=\dfrac{42}{100}\cdot x$ se construiește în a doua zi și, cum $\dfrac{42x}{100}>\dfrac{30x}{100}$ , obținem că în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi	1p

b) · 3p

Determină lungimea pistei construite de echipă în cele trei zile.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
În a treia zi echipa a construit $\dfrac{42x}{100}-7$	1p
$\dfrac{30x}{100}+\dfrac{42x}{100}+\dfrac{42x}{100}-7=x$	1p
$14x=700$ , de unde obținem $x=50$ km	1p

Exerciții de același tip: Probleme cu text →

Problema 2

Se consideră expresia $E(x)=\left(\dfrac{x+4}{x-3}-\dfrac{x-3}{x+4}+\dfrac{49}{x^2+x-12}\right):\dfrac{7}{x-3}$ , unde $x$ este număr real, $x\ne -4$ și $x\ne 3$ .

a) · 2p

Arată că $x^2+x-12=(x-3)(x+4)$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$x^2+x-12=x^2-3x+4x-12=$	1p
$=x(x-3)+4(x-3)=(x-3)(x+4)$ , pentru orice număr real $x$	1p

b) · 3p

Arată că numărul $N=\sqrt{E(2)+E(4)+E(6)+\ldots+E(16)}$ este natural.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$E(x)=\dfrac{(x+4)^2-(x-3)^2+49}{(x-3)(x+4)}\cdot\dfrac{x-3}{7}=$	1p
$=\dfrac{14x+56}{7(x+4)}=2$ , pentru orice număr real $x$ , $x\ne -4$ și $x\ne 3$	1p
$N=\sqrt{2\cdot 8}=4$ , care este număr natural	1p

Exerciții de același tip: Expresii algebrice →

Problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x-6$ .

a) · 2p

Arată că $f(3)\cdot f(2025)=0$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(3)=0$	1p
$f(3)\cdot f(2025)=0\cdot f(2025)=0$	1p

b) · 3p

Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$ , respectiv $B$ . Determină aria triunghiului $ABM$ , unde punctul $M$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $O$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(3,0)$ și $B(0,-6)$	1p
$AM=2\cdot AO$ , deci $AM=6$	1p
$\mathcal{A}_{ABM}=\dfrac{AM\cdot OB}{2}=18$	1p

Exerciții de același tip: Funcții →

Problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB=12$ cm și $BC=6$ cm. Bisectoarea unghiului $BCD$ intersectează latura $AB$ în punctul $E$ și diagonala $BD$ în punctul $F$ .

a) · 2p

Arată că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $36$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$P_{ABCD}=2(AB+BC)=$	1p
$=2(12+6)=36$ cm	1p

b) · 3p

Calculează lungimea segmentului $AF$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$CE$ este bisectoarea unghiului $BCD\Rightarrow\sphericalangle BCE=45^\circ$ , deci triunghiul $BCE$ este dreptunghic isoscel $\Rightarrow BE=BC=6$ cm $\Rightarrow BE=AE$	1p
$\{O\}=AC\cap BD$ , deci $O$ este mijlocul segmentului $AC$ ; $\{F\}=BO\cap CE$ , deci $F$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$	1p
$\{M\}=AF\cap BC$ , deci $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=3\sqrt{17}$ cm; cum $AF=\dfrac{2}{3}AM$ , obținem $AF=2\sqrt{17}$ cm	1p

Exerciții de același tip: Geometrie plană: triunghiuri și patrulatere →

Problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=6$ cm. Punctele $B$ , $C$ și $M$ sunt coliniare și punctul $C$ este mijlocul segmentului $BM$ . Punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe dreapta $AC$ , iar dreapta $BC$ este mediatoarea segmentului $AP$ .

a) · 2p

Arată că lungimea segmentului $NC$ este egală cu $3$ cm.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$CM=6$ cm, $\sphericalangle MCN=\sphericalangle ACB=60^\circ$	1p
$\sphericalangle CMN=30^\circ$ , de unde obținem $NC=\dfrac{CM}{2}=3$ cm	1p

b) · 3p

Demonstrează că punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt coliniare.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\{Q\}=AP\cap BC$ și, cum $CQ$ este mediatoarea segmentului $AP$ , obținem $CP=CA$ și $\sphericalangle PCQ=\sphericalangle ACQ=60^\circ$	1p
$\sphericalangle NCP=180^\circ-\sphericalangle PCQ-\sphericalangle ACQ=60^\circ$ , deci $\sphericalangle NCP=\sphericalangle NCM$ și, cum $CP=CM$ , obținem $\triangle CPN\equiv\triangle CMN$ , deci $\sphericalangle CNP=\sphericalangle CNM=90^\circ$	1p
$\sphericalangle MNP=\sphericalangle CNM+\sphericalangle CNP=180^\circ$ , deci punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt coliniare	1p

Exerciții de același tip: Geometrie plană: arii și asemănare →

Problema 6

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu $AB=6$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AE$ și $DH$ .

a) · 2p

Arată că volumul cubului $ABCDEFGH$ este egal cu $216\text{ cm}^3$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\mathcal{V}_{ABCDEFGH}=AB^3=$	1p
$=6^3=216\text{ cm}^3$	1p

b) · 3p

Calculează distanța de la punctul $H$ la planul $(CMN)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Punctul $Q$ este mijlocul segmentului $GC$ ; $HQ\parallel NC$ , $NC\subset(MNC)$ , deci $HQ\parallel(MNC)$ , de unde obținem $d(H,(MNC))=d(Q,(MNC))$	1p
$QR\perp NC$ , $R\in NC$ ; $MN\parallel BC$ , $BC\perp(DCG)\Rightarrow MN\perp(DCG)$ , deci $MN\perp QR$ ; cum $MN\cap CN=\{N\}$ , $MN, CN\subset(MNC)$ , obținem $QR\perp(MNC)$ , deci $d(Q,(MNC))=QR$	1p
Triunghiul $NQC$ este dreptunghic în $Q$ , de unde obținem $QR=\dfrac{NQ\cdot QC}{NC}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ cm	1p

Exerciții de același tip: Geometrie în spațiu →

Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF)).

Alte subiecte Evaluarea Națională

Toate subiectele →