Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Se consideră numărul complex z = 3 − i z = 3 - i z = 3 − i z ( z + 2 i ) = 10 z(z + 2i) = 10 z ( z + 2 i ) = 10
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte z ( z + 2 i ) = ( 3 − i ) ( 3 + i ) = 9 − i 2 = z(z+2i) = (3-i)(3+i) = 9 - i^2 = z ( z + 2 i ) = ( 3 − i ) ( 3 + i ) = 9 − i 2 = 2p = 9 − ( − 1 ) = 10 = 9 - (-1) = 10 = 9 − ( − 1 ) = 10 3p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 3 x − 4 f(x) = 3x - 4 f ( x ) = 3 x − 4 a a a f ( a ) + f ( − 2 a ) = a f(a) + f(-2a) = a f ( a ) + f ( − 2 a ) = a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( a ) = 3 a − 4 f(a) = 3a - 4 f ( a ) = 3 a − 4 f ( − 2 a ) = − 6 a − 4 f(-2a) = -6a - 4 f ( − 2 a ) = − 6 a − 4 a a a 3p 3 a − 4 − 6 a − 4 = a 3a - 4 - 6a - 4 = a 3 a − 4 − 6 a − 4 = a a = − 2 a = -2 a = − 2 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x 2 + 7 = 2 x + 1 \sqrt{x^2 + 7} = 2\sqrt{x + 1} x 2 + 7 = 2 x + 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x 2 + 7 = 4 ( x + 1 ) x^2 + 7 = 4(x + 1) x 2 + 7 = 4 ( x + 1 ) x 2 − 4 x + 3 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 x 2 − 4 x + 3 = 0 2p x = 1 x = 1 x = 1 x = 3 x = 3 x = 3 3p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Se consideră mulțimea A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 } A = \{1, 2, 3, 5, 7\} A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 } A A A 5 5 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Numărul submulțimilor cu exact trei elemente ale mulțimii A A A 5 5 5 A ∖ { 5 } A \setminus \{5\} A ∖ { 5 } 3p Mulțimea A ∖ { 5 } A \setminus \{5\} A ∖ { 5 } 6 6 6 2p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 3 , 6 ) A(3,6) A ( 3 , 6 ) B ( 4 , 1 ) B(4,1) B ( 4 , 1 ) C ( 5 , a ) C(5,a) C ( 5 , a ) a a a a a a O A OA O A B C BC BC
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte m O A = 2 m_{OA} = 2 m O A = 2 2p m B C = a − 1 m_{BC} = a - 1 m BC = a − 1 m O A = m B C m_{OA} = m_{BC} m O A = m BC a = 3 a = 3 a = 3 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră expresia E ( x ) = ( 1 + tg 2 x ) sin x 2 + cos 3 x E(x) = \left(1 + \operatorname{tg}^2 x\right)\sin\dfrac{x}{2} + \cos 3x E ( x ) = ( 1 + tg 2 x ) sin 2 x + cos 3 x x ∈ ( 0 , π 2 ) x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) x ∈ ( 0 , 2 π ) E ( π 3 ) = 1 E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1 E ( 3 π ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte tg π 3 = 3 \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3} tg 3 π = 3 sin π 6 = 1 2 \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} sin 6 π = 2 1 cos π = − 1 \cos\pi = -1 cos π = − 1 3p E ( π 3 ) = ( 1 + ( 3 ) 2 ) ⋅ 1 2 + ( − 1 ) = 4 ⋅ 1 2 − 1 = 1 E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(1 + \left(\sqrt{3}\right)^2\right)\cdot\dfrac{1}{2} + (-1) = 4\cdot\dfrac{1}{2} - 1 = 1 E ( 3 π ) = ( 1 + ( 3 ) 2 ) ⋅ 2 1 + ( − 1 ) = 4 ⋅ 2 1 − 1 = 1 2p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a a a 3 a 0 2 1 ) A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} A ( a ) = 1 a 0 a 3 2 a a 1 { x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0 \begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0 a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 2 \det\big(A(1)\big) = 2 det ( A ( 1 ) ) = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 1 ) = ( 1 1 1 1 3 1 0 2 1 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ 1 1 1 1 3 1 0 2 1 ∣ = A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det\big(A(1)\big) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = A ( 1 ) = 1 1 0 1 3 2 1 1 1 ⇒ det ( A ( 1 ) ) = 1 1 0 1 3 2 1 1 1 = 2p = 3 + 2 + 0 − 0 − 2 − 1 = 2 = 3 + 2 + 0 - 0 - 2 - 1 = 2 = 3 + 2 + 0 − 0 − 2 − 1 = 2 3p
b) · 5p
Arătați că, pentru orice număr real a a a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det ( A ( a ) ) = ∣ 1 a a a 3 a 0 2 1 ∣ = a 2 − 2 a + 3 \det\big(A(a)\big) = \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = a^2 - 2a + 3 det ( A ( a ) ) = 1 a 0 a 3 2 a a 1 = a 2 − 2 a + 3 a a a 3p det ( A ( a ) ) = ( a − 1 ) 2 + 2 ≠ 0 \det\big(A(a)\big) = (a-1)^2 + 2 \neq 0 det ( A ( a ) ) = ( a − 1 ) 2 + 2 = 0 a a a a a a 2p
c) · 5p
Determinați numărul natural nenul a a a ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0, y_0, z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) z 0 = n x 0 z_0 = nx_0 z 0 = n x 0 n n n
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 a = n ( 3 − 2 a ) 2a = n(3 - 2a) 2 a = n ( 3 − 2 a ) a a a n n n a a a 3p 3 − 2 a > 0 3 - 2a > 0 3 − 2 a > 0 a a a a = 1 a = 1 a = 1 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 2 3 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3 x * y = \dfrac{2}{3}(x - 3)(y - 3) + 3 x ∗ y = 3 2 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3
a) · 5p
Arătați că 0 ∗ 2 = 5 0 * 2 = 5 0 ∗ 2 = 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 0 ∗ 2 = 2 3 ( 0 − 3 ) ( 2 − 3 ) + 3 = 0 * 2 = \dfrac{2}{3}(0 - 3)(2 - 3) + 3 = 0 ∗ 2 = 3 2 ( 0 − 3 ) ( 2 − 3 ) + 3 = 3p = 2 + 3 = 5 = 2 + 3 = 5 = 2 + 3 = 5 2p
b) · 5p
Determinați numerele reale x x x x ∗ 3 x 2 = 5 x x * \dfrac{3x}{2} = 5x x ∗ 2 3 x = 5 x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∗ 3 x 2 = x 2 − 5 x + 9 x * \dfrac{3x}{2} = x^2 - 5x + 9 x ∗ 2 3 x = x 2 − 5 x + 9 x x x 2p x 2 − 5 x + 9 = 5 x x^2 - 5x + 9 = 5x x 2 − 5 x + 9 = 5 x x = 1 x = 1 x = 1 x = 9 x = 9 x = 9 3p
c) · 5p
Determinați perechile ( m , n ) (m, n) ( m , n ) m ∗ m ∗ n = − 1 m * m * n = -1 m ∗ m ∗ n = − 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte m ∗ m = 2 3 ( m − 3 ) 2 + 3 m * m = \dfrac{2}{3}(m - 3)^2 + 3 m ∗ m = 3 2 ( m − 3 ) 2 + 3 m ∗ m ∗ n = 4 9 ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) + 3 m * m * n = \dfrac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) + 3 m ∗ m ∗ n = 9 4 ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) + 3 m m m n n n 2p 4 9 ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) + 3 = − 1 ⇔ ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) = − 9 \dfrac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) + 3 = -1 \Leftrightarrow (m - 3)^2(n - 3) = -9 9 4 ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) + 3 = − 1 ⇔ ( m − 3 ) 2 ( n − 3 ) = − 9 m m m n n n ( 0 , 2 ) (0, 2) ( 0 , 2 ) ( 6 , 2 ) (6, 2) ( 6 , 2 ) 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 3 − 4 x x 2 + 5 f(x) = \dfrac{x^3 - 4x}{x^2 + 5} f ( x ) = x 2 + 5 x 3 − 4 x
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 20 ) ( x 2 + 5 ) 2 f'(x) = \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 20)}{(x^2 + 5)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 5 ) 2 ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 20 ) x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = ( 3 x 2 − 4 ) ( x 2 + 5 ) − ( x 3 − 4 x ) ⋅ 2 x ( x 2 + 5 ) 2 = f'(x) = \dfrac{(3x^2 - 4)(x^2 + 5) - (x^3 - 4x)\cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = f ′ ( x ) = ( x 2 + 5 ) 2 ( 3 x 2 − 4 ) ( x 2 + 5 ) − ( x 3 − 4 x ) ⋅ 2 x = 3p = x 4 + 19 x 2 − 20 ( x 2 + 5 ) 2 = ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 20 ) ( x 2 + 5 ) 2 = \dfrac{x^4 + 19x^2 - 20}{(x^2 + 5)^2} = \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 20)}{(x^2 + 5)^2} = ( x 2 + 5 ) 2 x 4 + 19 x 2 − 20 = ( x 2 + 5 ) 2 ( x 2 − 1 ) ( x 2 + 20 ) x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R 2p
b) · 5p
Arătați că dreapta de ecuație y = x y = x y = x + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ ( f ( x ) − x ) = \lim\limits_{x \to +\infty}\big(f(x) - x\big) = x → + ∞ lim ( f ( x ) − x ) = 2p = lim x → + ∞ − 9 x x 2 + 5 = 0 = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{-9x}{x^2 + 5} = 0 = x → + ∞ lim x 2 + 5 − 9 x = 0 y = x y = x y = x + ∞ +\infty + ∞ f f f 3p
c) · 5p
Determinați mulțimea numerelor reale m m m f ( x ) = m f(x) = m f ( x ) = m
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = − 1 f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1 f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = − 1 x = 1 x = 1 x = 1 x ∈ ( − ∞ , − 1 ) x \in (-\infty, -1) x ∈ ( − ∞ , − 1 ) f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f ′ ( x ) > 0 f f f ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) ( − ∞ , − 1 ) x ∈ ( − 1 , 1 ) x \in (-1, 1) x ∈ ( − 1 , 1 ) f ′ ( x ) < 0 f'(x) < 0 f ′ ( x ) < 0 f f f ( − 1 , 1 ) (-1, 1) ( − 1 , 1 ) x ∈ ( 1 , + ∞ ) x \in (1, +\infty) x ∈ ( 1 , + ∞ ) f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f ′ ( x ) > 0 f f f ( 1 , + ∞ ) (1, +\infty) ( 1 , + ∞ ) 2p lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty x → − ∞ lim f ( x ) = − ∞ f ( − 1 ) = 1 2 f(-1) = \dfrac{1}{2} f ( − 1 ) = 2 1 f ( 1 ) = − 1 2 f(1) = -\dfrac{1}{2} f ( 1 ) = − 2 1 lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞ f f f f ( x ) = m f(x) = m f ( x ) = m m ∈ ( − 1 2 , 1 2 ) m \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) m ∈ ( − 2 1 , 2 1 ) 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : ( 1 , + ∞ ) → R f: (1, +\infty) \to \mathbb{R} f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 4 x ln x f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x \ln x} f ( x ) = x ln x x 2 − 4
a) · 5p
Arătați că ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = 7 3 \displaystyle\int_2^3 f(x)\, x \ln x \, dx = \dfrac{7}{3} ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = 3 7
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = ∫ 2 3 ( x 2 − 4 ) d x = ( x 3 3 − 4 x ) ∣ 2 3 = \displaystyle\int_2^3 f(x)\, x \ln x \, dx = \int_2^3 (x^2 - 4)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} - 4x\right)\right|_2^3 = ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = ∫ 2 3 ( x 2 − 4 ) d x = ( 3 x 3 − 4 x ) 2 3 = 3p = − 3 + 16 3 = 7 3 = -3 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3} = − 3 + 3 16 = 3 7 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ e e 2 f ( x ) x 2 − 4 d x = ln 2 \displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4}\, dx = \ln 2 ∫ e e 2 x 2 − 4 f ( x ) d x = ln 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ e e 2 f ( x ) x 2 − 4 d x = ∫ e e 2 1 x ln x d x = ∫ e e 2 1 ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x = ln ( ln x ) ∣ e e 2 = \displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4}\, dx = \int_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x}\, dx = \int_e^{e^2} \dfrac{1}{\ln x}\cdot(\ln x)'\, dx = \left.\ln(\ln x)\right|_e^{e^2} = ∫ e e 2 x 2 − 4 f ( x ) d x = ∫ e e 2 x ln x 1 d x = ∫ e e 2 ln x 1 ⋅ ( ln x ) ′ d x = ln ( ln x ) ∣ e e 2 = 3p = ln 2 − ln 1 = ln 2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 = ln 2 − ln 1 = ln 2 2p
c) · 5p
Arătați că lim x → 2 1 F 2 ( x ) ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = ln 2 4 \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{F^2(x)} \displaystyle\int_2^x (t - 2) F(t)\, dt = \dfrac{\ln 2}{4} x → 2 lim F 2 ( x ) 1 ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = 4 ln 2 F : ( 1 , + ∞ ) → R F: (1, +\infty) \to \mathbb{R} F : ( 1 , + ∞ ) → R f f f F ( 2 ) = 0 F(2) = 0 F ( 2 ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → 2 1 F 2 ( x ) ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = lim x → 2 ( ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t ) ′ ( F 2 ( x ) ) ′ = lim x → 2 ( x − 2 ) F ( x ) 2 F ( x ) f ( x ) = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{F^2(x)} \displaystyle\int_2^x (t - 2) F(t)\, dt = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(\displaystyle\int_2^x (t - 2) F(t)\, dt\right)'}{\left(F^2(x)\right)'} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2) F(x)}{2F(x) f(x)} = x → 2 lim F 2 ( x ) 1 ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = x → 2 lim ( F 2 ( x ) ) ′ ( ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t ) ′ = x → 2 lim 2 F ( x ) f ( x ) ( x − 2 ) F ( x ) = 3p = lim x → 2 x − 2 2 f ( x ) = lim x → 2 x ln x 2 ( x + 2 ) = ln 2 4 = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{2f(x)} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \ln x}{2(x + 2)} = \dfrac{\ln 2}{4} = x → 2 lim 2 f ( x ) x − 2 = x → 2 lim 2 ( x + 2 ) x ln x = 4 ln 2 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M1 Toate subiectele →