Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Se consideră numerele complexe z 1 = 1 − i z_1 = 1 - i z 1 = 1 − i z 2 = 2 + i z_2 = 2 + i z 2 = 2 + i 2 z 1 + i z 2 = 1 2z_1 + iz_2 = 1 2 z 1 + i z 2 = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 z 1 + i z 2 = 2 ( 1 − i ) + i ( 2 + i ) = 2 − 2 i + 2 i + i 2 = 2z_1 + iz_2 = 2(1-i) + i(2+i) = 2 - 2i + 2i + i^2 = 2 z 1 + i z 2 = 2 ( 1 − i ) + i ( 2 + i ) = 2 − 2 i + 2 i + i 2 = 2p = 2 − 1 = 1 = 2 - 1 = 1 = 2 − 1 = 1 3p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x + 3 f(x) = x + 3 f ( x ) = x + 3 a a a ( f ∘ f ) ( a ) = 9 (f \circ f)(a) = 9 ( f ∘ f ) ( a ) = 9
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( a ) = a + 3 f(a) = a+3 f ( a ) = a + 3 ( f ∘ f ) ( a ) = a + 6 (f\circ f)(a) = a+6 ( f ∘ f ) ( a ) = a + 6 a a a 3p a + 6 = 9 a+6=9 a + 6 = 9 a = 3 a=3 a = 3 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x 2 − 3 x + 2 = x \sqrt{2x^2 - 3x + 2} = x 2 x 2 − 3 x + 2 = x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 x 2 − 3 x + 2 = x 2 2x^2-3x+2=x^2 2 x 2 − 3 x + 2 = x 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 x^2-3x+2=0 x 2 − 3 x + 2 = 0 2p x = 1 x=1 x = 1 x = 2 x=2 x = 2 3p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului 2 6 2^6 2 6
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p Sunt 3 divizori ai numărului 2 6 2^6 2 6 p = 3 90 = 1 30 p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} p = 90 3 = 30 1 3p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 0 , 1 ) A(0,1) A ( 0 , 1 ) B ( 5 , 0 ) B(5,0) B ( 5 , 0 ) C ( 6 , 3 ) C(6,3) C ( 6 , 3 ) D ( a , b ) D(a,b) D ( a , b ) a a a b b b a a a b b b A C AC A C B D BD B D
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Mijlocul A C AC A C ( 3 , 2 ) (3,2) ( 3 , 2 ) B D BD B D ( 5 + a 2 , b 2 ) \left(\frac{5+a}{2}, \frac{b}{2}\right) ( 2 5 + a , 2 b ) 3p a = 1 a=1 a = 1 b = 4 b=4 b = 4 2p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 2 AB=2 A B = 2 tg B = 3 \operatorname{tg} B = 3 tg B = 3 B C = 2 10 BC = 2\sqrt{10} BC = 2 10
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte tg B = A C A B \operatorname{tg} B = \frac{AC}{AB} tg B = A B A C A C = 6 AC=6 A C = 6 3p B C 2 = 2 2 + 6 2 BC^2=2^2+6^2 B C 2 = 2 2 + 6 2 B C = 2 10 BC=2\sqrt{10} BC = 2 10 2p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea A ( x ) = ( 2 − 3 x 0 x 0 2 0 − 9 x 0 2 + 3 x ) A(x) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix} A ( x ) = 2 − 3 x 0 − 9 x 0 2 0 x 0 2 + 3 x x x x
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 8 \det(A(1)) = 8 det ( A ( 1 )) = 8
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 1 ) = ( − 1 0 1 0 2 0 − 9 0 5 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ − 1 0 1 0 2 0 − 9 0 5 ∣ = A(1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{vmatrix} = A ( 1 ) = − 1 0 − 9 0 2 0 1 0 5 ⇒ det ( A ( 1 )) = − 1 0 − 9 0 2 0 1 0 5 = 2p = − 10 + 0 + 0 + 18 − 0 − 0 = 8 = -10+0+0+18-0-0 = 8 = − 10 + 0 + 0 + 18 − 0 − 0 = 8 3p
b) · 5p
Arătați că A ( x ) ⋅ A ( y ) = 2 A ( x + y ) A(x) \cdot A(y) = 2A(x+y) A ( x ) ⋅ A ( y ) = 2 A ( x + y ) x x x y y y
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( x ) ⋅ A ( y ) = ( 4 − 6 x − 6 y 0 2 x + 2 y 0 4 0 − 18 x − 18 y 0 4 + 6 x + 6 y ) A(x)\cdot A(y) = \begin{pmatrix} 4-6x-6y & 0 & 2x+2y \\ 0 & 4 & 0 \\ -18x-18y & 0 & 4+6x+6y \end{pmatrix} A ( x ) ⋅ A ( y ) = 4 − 6 x − 6 y 0 − 18 x − 18 y 0 4 0 2 x + 2 y 0 4 + 6 x + 6 y 3p = 2 ( 2 − 3 ( x + y ) 0 x + y 0 2 0 − 9 ( x + y ) 0 2 + 3 ( x + y ) ) = 2 A ( x + y ) = 2\begin{pmatrix} 2-3(x+y) & 0 & x+y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9(x+y) & 0 & 2+3(x+y) \end{pmatrix} = 2A(x+y) = 2 2 − 3 ( x + y ) 0 − 9 ( x + y ) 0 2 0 x + y 0 2 + 3 ( x + y ) = 2 A ( x + y ) 2p
c) · 5p
Determinați numerele reale x x x ( A ( x ) + A ( 3 x ) ) ⋅ A ( 2 x ) = 4 A ( x 2 ) \big(A(x)+A(3x)\big)\cdot A(2x) = 4A\big(x^2\big) ( A ( x ) + A ( 3 x ) ) ⋅ A ( 2 x ) = 4 A ( x 2 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( x ) + A ( 3 x ) = 2 A ( 2 x ) A(x)+A(3x)=2A(2x) A ( x ) + A ( 3 x ) = 2 A ( 2 x ) ( A ( x ) + A ( 3 x ) ) ⋅ A ( 2 x ) = 4 A ( 4 x ) (A(x)+A(3x))\cdot A(2x) = 4A(4x) ( A ( x ) + A ( 3 x )) ⋅ A ( 2 x ) = 4 A ( 4 x ) x x x 3p 4 A ( 4 x ) = 4 A ( x 2 ) 4A(4x)=4A(x^2) 4 A ( 4 x ) = 4 A ( x 2 ) 4 x = x 2 4x=x^2 4 x = x 2 x = 0 x=0 x = 0 x = 4 x=4 x = 4 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Se consideră polinomul f = a X 3 + 3 X 2 − a X − 6 f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6 f = a X 3 + 3 X 2 − a X − 6 a a a
a) · 5p
Arătați că f ( 1 ) = − 3 f(1) = -3 f ( 1 ) = − 3 a a a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 1 ) = a ⋅ 1 3 + 3 ⋅ 1 2 − a ⋅ 1 − 6 = f(1) = a\cdot 1^3+3\cdot 1^2-a\cdot 1-6= f ( 1 ) = a ⋅ 1 3 + 3 ⋅ 1 2 − a ⋅ 1 − 6 = 3p = a + 3 − a − 6 = − 3 = a+3-a-6=-3 = a + 3 − a − 6 = − 3 a a a 2p
b) · 5p
Pentru a = 1 a=1 a = 1 f f f g = X 2 + 3 X − 1 g = X^2+3X-1 g = X 2 + 3 X − 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f = X ( X 2 + 3 X − 1 ) − 6 f = X(X^2+3X-1) - 6 f = X ( X 2 + 3 X − 1 ) − 6 X X X 3p Restul este − 6 -6 − 6 2p
c) · 5p
Determinați numărul real nenul a a a ( 1 + x 1 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) = 1 (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = 1 ( 1 + x 1 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) = 1 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ( 1 + x 1 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) = − f ( − 1 ) a (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = -\frac{f(-1)}{a} ( 1 + x 1 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) = − a f ( − 1 ) a a a 3p − f ( − 1 ) a = 1 -\frac{f(-1)}{a}=1 − a f ( − 1 ) = 1 a = 3 a=3 a = 3 2p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f: (0,+\infty) \to \mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x + ln x x + 2 f(x) = 2x + \ln\frac{x}{x+2} f ( x ) = 2 x + ln x + 2 x
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 2 ( x + 1 ) 2 x ( x + 2 ) f'(x) = \dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)} f ′ ( x ) = x ( x + 2 ) 2 ( x + 1 ) 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x \in (0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 2 + x + 2 x ⋅ x + 2 − x ( x + 2 ) 2 = 2 + 2 x ( x + 2 ) = f'(x) = 2+\frac{x+2}{x}\cdot\frac{x+2-x}{(x+2)^2} = 2+\frac{2}{x(x+2)}= f ′ ( x ) = 2 + x x + 2 ⋅ ( x + 2 ) 2 x + 2 − x = 2 + x ( x + 2 ) 2 = 3p = 2 x 2 + 4 x + 2 x ( x + 2 ) = 2 ( x + 1 ) 2 x ( x + 2 ) = \frac{2x^2+4x+2}{x(x+2)} = \frac{2(x+1)^2}{x(x+2)} = x ( x + 2 ) 2 x 2 + 4 x + 2 = x ( x + 2 ) 2 ( x + 1 ) 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Determinați ecuația asimptotei oblice spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ ( 2 + 1 x ln x x + 2 ) = 2 \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\ln\frac{x}{x+2}\right)=2 lim x → + ∞ x f ( x ) = lim x → + ∞ ( 2 + x 1 ln x + 2 x ) = 2 2p lim x → + ∞ ( f ( x ) − 2 x ) = lim x → + ∞ ln x x + 2 = 0 \lim_{x\to+\infty}(f(x)-2x) = \lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x}{x+2}=0 lim x → + ∞ ( f ( x ) − 2 x ) = lim x → + ∞ ln x + 2 x = 0 y = 2 x y=2x y = 2 x + ∞ +\infty + ∞ 3p
c) · 5p
Demonstrați că funcția f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Pentru orice x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) f ′ ( x ) > 0 ⇒ f f'(x)>0 \Rightarrow f f ′ ( x ) > 0 ⇒ f f f f 2p lim x → 0 f ( x ) = − ∞ \lim_{x\to 0} f(x) = -\infty lim x → 0 f ( x ) = − ∞ lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ f f f ⇒ f \Rightarrow f ⇒ f f f f 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : ( − 1 , + ∞ ) → R f: (-1,+\infty) \to \mathbb{R} f : ( − 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 ( x + 1 ) 3 f(x) = \dfrac{x^2}{(x+1)^3} f ( x ) = ( x + 1 ) 3 x 2
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 3 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = 9 \displaystyle\int_0^3 f(x)(x+1)^3\,dx = 9 ∫ 0 3 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = 9
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 3 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = ∫ 0 3 x 2 d x = x 3 3 ∣ 0 3 = \int_0^3 f(x)(x+1)^3\,dx = \int_0^3 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3= ∫ 0 3 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = ∫ 0 3 x 2 d x = 3 x 3 0 3 = 3p = 9 − 0 = 9 = 9-0=9 = 9 − 0 = 9 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) d x = 1 − ln 2 \displaystyle\int_0^1 \sqrt{f(x)(x+1)}\,dx = 1-\ln 2 ∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) d x = 1 − ln 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) d x = ∫ 0 1 x x + 1 d x = ∫ 0 1 ( 1 − 1 x + 1 ) d x = \int_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}\,dx = \int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx = \int_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx= ∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) d x = ∫ 0 1 x + 1 x d x = ∫ 0 1 ( 1 − x + 1 1 ) d x = 3p = x ∣ 0 1 − ln ( x + 1 ) ∣ 0 1 = 1 − 0 − ln 2 + ln 1 = 1 − ln 2 = \left.x\right|_0^1-\left.\ln(x+1)\right|_0^1 = 1-0-\ln2+\ln1=1-\ln2 = x ∣ 0 1 − ln ( x + 1 ) ∣ 0 1 = 1 − 0 − ln 2 + ln 1 = 1 − ln 2 2p
c) · 5p
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : R → R g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} g : R → R g ( x ) = f ( e x ) e x g(x) = \dfrac{f(e^x)}{e^x} g ( x ) = e x f ( e x ) O x Ox O x x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 1 x=1 x = 1 e − 1 2 ( e + 1 ) \dfrac{e-1}{2(e+1)} 2 ( e + 1 ) e − 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte g ( x ) = e x ( e x + 1 ) 3 g(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^3} g ( x ) = ( e x + 1 ) 3 e x A = ∫ − 1 1 ∣ g ( x ) ∣ d x = ∫ − 1 1 e x ( e x + 1 ) 3 d x = ∫ − 1 1 ( e x + 1 ) ′ ( e x + 1 ) 3 d x = − 1 2 ( e x + 1 ) 2 ∣ − 1 1 = \mathcal{A}=\int_{-1}^1|g(x)|dx=\int_{-1}^1\frac{e^x}{(e^x+1)^3}dx=\int_{-1}^1\frac{(e^x+1)'}{(e^x+1)^3}dx=\left.-\frac{1}{2(e^x+1)^2}\right|_{-1}^1= A = ∫ − 1 1 ∣ g ( x ) ∣ d x = ∫ − 1 1 ( e x + 1 ) 3 e x d x = ∫ − 1 1 ( e x + 1 ) 3 ( e x + 1 ) ′ d x = − 2 ( e x + 1 ) 2 1 − 1 1 = 3p = e 2 − 1 2 ( e + 1 ) 2 = e − 1 2 ( e + 1 ) = \frac{e^2-1}{2(e+1)^2}=\frac{e-1}{2(e+1)} = 2 ( e + 1 ) 2 e 2 − 1 = 2 ( e + 1 ) e − 1 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M1 Toate subiectele →