La bac la matematică M1, Subiectul al II-lea · Problema 1 este mereu despre matrice și determinanți. Cel mai des apar: operații cu matrice, determinanți, sisteme de ecuații liniare. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.
108 de cerințe oficiale pe MateSim
36 de lucrări, 2018–2027
Problema 1 Subiectul al II-lea
Exerciții oficiale, cu barem Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M1 (mate-info) · Subiectul al II-lea, problema 1
Se consideră matricele I 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A ( x ) = ( − 2 x 0 0 1 0 0 3 x + 2 − 2 ) A(x)=\begin{pmatrix} -2 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3x+2 & -2 \end{pmatrix} A ( x ) = − 2 0 0 x 1 3 x + 2 0 0 − 2 x x x
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 3 ) ) = 4 \det\big(A(3)\big)=4 det ( A ( 3 ) ) = 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 3 ) = ( − 2 3 0 0 1 0 0 11 − 2 ) ⇒ det ( A ( 3 ) ) = ∣ − 2 3 0 0 1 0 0 11 − 2 ∣ = A(3)=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(3)\big)=\begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & -2 \end{vmatrix}= A ( 3 ) = − 2 0 0 3 1 11 0 0 − 2 ⇒ det ( A ( 3 ) ) = − 2 0 0 3 1 11 0 0 − 2 = 2p = 4 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 4 =4+0+0-0-0-0=4 = 4 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 4 3p
b) · 5p
Arătați că A ( x ) ⋅ A ( y ) − A ( x ) + 2 A ( y ) = 2 I 3 A(x)\cdot A(y)-A(x)+2A(y)=2I_3 A ( x ) ⋅ A ( y ) − A ( x ) + 2 A ( y ) = 2 I 3 x x x y y y
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( x ) ⋅ A ( y ) − A ( x ) + 2 A ( y ) = ( 4 x − 2 y 0 0 1 0 0 3 x − 6 y − 2 4 ) − ( − 2 x 0 0 1 0 0 3 x + 2 − 2 ) + ( − 4 2 y 0 0 2 0 0 6 y + 4 − 4 ) = A(x)\cdot A(y)-A(x)+2A(y)=\begin{pmatrix} 4 & x-2y & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3x-6y-2 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3x+2 & -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & 2y & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 6y+4 & -4 \end{pmatrix}= A ( x ) ⋅ A ( y ) − A ( x ) + 2 A ( y ) = 4 0 0 x − 2 y 1 3 x − 6 y − 2 0 0 4 − − 2 0 0 x 1 3 x + 2 0 0 − 2 + − 4 0 0 2 y 2 6 y + 4 0 0 − 4 = 3p = ( 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ) = 2 I 3 =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=2I_3 = 2 0 0 0 2 0 0 0 2 = 2 I 3 x x x y y y 2p
c) · 5p
Determinați numerele reale a a a b b b A ( x ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( x ) = a A ( x ) + b I 3 A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=aA(x)+bI_3 A ( x ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( x ) = a A ( x ) + b I 3 x x x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( x ) ⋅ A ( x ) = 2 I 3 − A ( x ) A(x)\cdot A(x)=2I_3-A(x) A ( x ) ⋅ A ( x ) = 2 I 3 − A ( x ) A ( x ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( x ) = 3 A ( x ) − 2 I 3 A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=3A(x)-2I_3 A ( x ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( x ) = 3 A ( x ) − 2 I 3 x x x 2p 3 A ( x ) − 2 I 3 = a A ( x ) + b I 3 3A(x)-2I_3=aA(x)+bI_3 3 A ( x ) − 2 I 3 = a A ( x ) + b I 3 ( 3 − a ) A ( x ) = ( b + 2 ) I 3 (3-a)A(x)=(b+2)I_3 ( 3 − a ) A ( x ) = ( b + 2 ) I 3 x x x a = 3 a=3 a = 3 b = − 2 b=-2 b = − 2 3p
Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al II-lea, problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a a a 3 a 0 2 1 ) A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} A ( a ) = 1 a 0 a 3 2 a a 1 { x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0 \begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + a y + a z = 1 a x + 3 y + a z = 0 2 y + z = 0 a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 2 \det\big(A(1)\big) = 2 det ( A ( 1 ) ) = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 1 ) = ( 1 1 1 1 3 1 0 2 1 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ 1 1 1 1 3 1 0 2 1 ∣ = A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det\big(A(1)\big) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = A ( 1 ) = 1 1 0 1 3 2 1 1 1 ⇒ det ( A ( 1 ) ) = 1 1 0 1 3 2 1 1 1 = 2p = 3 + 2 + 0 − 0 − 2 − 1 = 2 = 3 + 2 + 0 - 0 - 2 - 1 = 2 = 3 + 2 + 0 − 0 − 2 − 1 = 2 3p
b) · 5p
Arătați că, pentru orice număr real a a a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det ( A ( a ) ) = ∣ 1 a a a 3 a 0 2 1 ∣ = a 2 − 2 a + 3 \det\big(A(a)\big) = \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = a^2 - 2a + 3 det ( A ( a ) ) = 1 a 0 a 3 2 a a 1 = a 2 − 2 a + 3 a a a 3p det ( A ( a ) ) = ( a − 1 ) 2 + 2 ≠ 0 \det\big(A(a)\big) = (a-1)^2 + 2 \neq 0 det ( A ( a ) ) = ( a − 1 ) 2 + 2 = 0 a a a a a a 2p
c) · 5p
Determinați numărul natural nenul a a a ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0, y_0, z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) z 0 = n x 0 z_0 = nx_0 z 0 = n x 0 n n n
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 a = n ( 3 − 2 a ) 2a = n(3 - 2a) 2 a = n ( 3 − 2 a ) a a a n n n a a a 3p 3 − 2 a > 0 3 - 2a > 0 3 − 2 a > 0 a a a a = 1 a = 1 a = 1 2p
Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al II-lea, problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − 2 a 2 − 1 − a 1 − a 0 ) A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & -2a \\ 2 & -1 & -a \\ 1 & -a & 0 \end{pmatrix} A ( a ) = 1 2 1 a − 1 − a − 2 a − a 0 { x + a y − 2 a z = − 1 2 x − y − a z = a x − a y = a \begin{cases} x + ay - 2az = -1 \\ 2x - y - az = a \\ x - ay = a \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + a y − 2 a z = − 1 2 x − y − a z = a x − a y = a a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 4 \det\big(A(2)\big) = 4 det ( A ( 2 ) ) = 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 2 ) = ( 1 2 − 4 2 − 1 − 2 1 − 2 0 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 1 2 − 4 2 − 1 − 2 1 − 2 0 ∣ = A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det\big(A(2)\big) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = A ( 2 ) = 1 2 1 2 − 1 − 2 − 4 − 2 0 ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 1 2 1 2 − 1 − 2 − 4 − 2 0 = 2p = 0 + 16 − 4 − 4 − 4 − 0 = 4 = 0 + 16 - 4 - 4 - 4 - 0 = 4 = 0 + 16 − 4 − 4 − 4 − 0 = 4 3p
b) · 5p
Pentru a = 1 a = 1 a = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte { x + y − 2 z = − 1 2 x − y − z = 1 x − y = 1 \begin{cases} x + y - 2z = -1 \\ 2x - y - z = 1 \\ x - y = 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + y − 2 z = − 1 2 x − y − z = 1 x − y = 1 ∣ 1 1 − 2 2 − 1 − 1 1 − 1 0 ∣ = 0 \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 1 2 1 1 − 1 − 1 − 2 − 1 0 = 0 2p ∣ 1 1 2 − 1 ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \ne 0 1 2 1 − 1 = 0 ∣ 1 1 − 1 2 − 1 1 1 − 1 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 1 2 1 1 − 1 − 1 − 1 1 1 = 0 3p
c) · 5p
Arătați că, pentru orice a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0, y_0, z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 4 x 0 z 0 = 1 4x_0 z_0 = 1 4 x 0 z 0 = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det ( A ( a ) ) = 2 a 2 − 2 a \det\big(A(a)\big) = 2a^2 - 2a det ( A ( a ) ) = 2 a 2 − 2 a a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } det ( A ( a ) ) ≠ 0 \det\big(A(a)\big) \ne 0 det ( A ( a ) ) = 0 2p Pentru a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } x 0 = a 2 x_0 = \dfrac{a}{2} x 0 = 2 a z 0 = 1 2 a z_0 = \dfrac{1}{2a} z 0 = 2 a 1 4 x 0 z 0 = 1 4x_0 z_0 = 1 4 x 0 z 0 = 1 a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } 3p
Celelalte poziții Bac M1