La bac la matematică M1, Subiectul al III-lea · Problema 2 este mereu despre integrale. Cel mai des apar: primitive, integrala definită, arii și volume. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.
108 de cerințe oficiale pe MateSim
36 de lucrări, 2018–2027
Problema 2 Subiectul al III-lea
Formulele capitolului
Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Integrale: formule .
Exerciții oficiale, cu barem Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M1 (mate-info) · Subiectul al III-lea, problema 2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 3 + x + 1 f(x)=x^3+x+1 f ( x ) = x 3 + x + 1
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 2 ( f ( x ) − x ) d x = 6 \displaystyle\int_0^2\big(f(x)-x\big)\,dx=6 ∫ 0 2 ( f ( x ) − x ) d x = 6
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 2 ( f ( x ) − x ) d x = ∫ 0 2 ( x 3 + 1 ) d x = ( x 4 4 + x ) ∣ 0 2 = \displaystyle\int_0^2\big(f(x)-x\big)\,dx=\int_0^2\left(x^3+1\right)dx=\left.\left(\dfrac{x^4}{4}+x\right)\right|_0^2= ∫ 0 2 ( f ( x ) − x ) d x = ∫ 0 2 ( x 3 + 1 ) d x = ( 4 x 4 + x ) 0 2 = 3p = 4 + 2 = 6 =4+2=6 = 4 + 2 = 6 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 3 ) e − x d x = 2 − 3 e \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-x^3\right)e^{-x}\,dx=2-\dfrac{3}{e} ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 3 ) e − x d x = 2 − e 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 3 ) e − x d x = ∫ 0 1 ( x + 1 ) ( − e − x ) ′ d x = ( x + 1 ) ( − e − x ) ∣ 0 1 − e − x ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-x^3\right)e^{-x}\,dx=\int_0^1(x+1)\left(-e^{-x}\right)'dx=\left.(x+1)\left(-e^{-x}\right)\right|_0^1-\left.e^{-x}\right|_0^1= ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 3 ) e − x d x = ∫ 0 1 ( x + 1 ) ( − e − x ) ′ d x = ( x + 1 ) ( − e − x ) 0 1 − e − x 0 1 = 3p = − 2 e + 1 − 1 e + 1 = 2 − 3 e =-\dfrac{2}{e}+1-\dfrac{1}{e}+1=2-\dfrac{3}{e} = − e 2 + 1 − e 1 + 1 = 2 − e 3 2p
c) · 5p
Pentru fiecare număr natural nenul n n n I n = ∫ 0 1 x n f ( x ) + x 2 d x I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{f(x)+x^2}\,dx I n = ∫ 0 1 f ( x ) + x 2 x n d x I n − I n + 4 = 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) I_n-I_{n+4}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} I n − I n + 4 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 1 n n n
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte I n − I n + 4 = ∫ 0 1 x n − x n + 4 x 3 + x 2 + x + 1 d x = ∫ 0 1 x n ( 1 − x 4 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x = I_n-I_{n+4}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n-x^{n+4}}{x^3+x^2+x+1}\,dx=\int_0^1\dfrac{x^n\left(1-x^4\right)}{(x+1)\left(x^2+1\right)}\,dx= I n − I n + 4 = ∫ 0 1 x 3 + x 2 + x + 1 x n − x n + 4 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) x n ( 1 − x 4 ) d x = 2p = ∫ 0 1 x n ( 1 − x ) d x = x n + 1 n + 1 ∣ 0 1 − x n + 2 n + 2 ∣ 0 1 = 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) =\displaystyle\int_0^1 x^n(1-x)\,dx=\left.\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right|_0^1-\left.\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\right|_0^1=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = ∫ 0 1 x n ( 1 − x ) d x = n + 1 x n + 1 0 1 − n + 2 x n + 2 0 1 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 1 n n n 3p
Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al III-lea, problema 2
Se consideră funcția f : ( 1 , + ∞ ) → R f: (1, +\infty) \to \mathbb{R} f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 4 x ln x f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x \ln x} f ( x ) = x ln x x 2 − 4
a) · 5p
Arătați că ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = 7 3 \displaystyle\int_2^3 f(x)\, x \ln x \, dx = \dfrac{7}{3} ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = 3 7
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = ∫ 2 3 ( x 2 − 4 ) d x = ( x 3 3 − 4 x ) ∣ 2 3 = \displaystyle\int_2^3 f(x)\, x \ln x \, dx = \int_2^3 (x^2 - 4)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} - 4x\right)\right|_2^3 = ∫ 2 3 f ( x ) x ln x d x = ∫ 2 3 ( x 2 − 4 ) d x = ( 3 x 3 − 4 x ) 2 3 = 3p = − 3 + 16 3 = 7 3 = -3 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3} = − 3 + 3 16 = 3 7 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ e e 2 f ( x ) x 2 − 4 d x = ln 2 \displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4}\, dx = \ln 2 ∫ e e 2 x 2 − 4 f ( x ) d x = ln 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ e e 2 f ( x ) x 2 − 4 d x = ∫ e e 2 1 x ln x d x = ∫ e e 2 1 ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x = ln ( ln x ) ∣ e e 2 = \displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4}\, dx = \int_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x}\, dx = \int_e^{e^2} \dfrac{1}{\ln x}\cdot(\ln x)'\, dx = \left.\ln(\ln x)\right|_e^{e^2} = ∫ e e 2 x 2 − 4 f ( x ) d x = ∫ e e 2 x ln x 1 d x = ∫ e e 2 ln x 1 ⋅ ( ln x ) ′ d x = ln ( ln x ) ∣ e e 2 = 3p = ln 2 − ln 1 = ln 2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 = ln 2 − ln 1 = ln 2 2p
c) · 5p
Arătați că lim x → 2 1 F 2 ( x ) ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = ln 2 4 \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{F^2(x)} \displaystyle\int_2^x (t - 2) F(t)\, dt = \dfrac{\ln 2}{4} x → 2 lim F 2 ( x ) 1 ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = 4 ln 2 F : ( 1 , + ∞ ) → R F: (1, +\infty) \to \mathbb{R} F : ( 1 , + ∞ ) → R f f f F ( 2 ) = 0 F(2) = 0 F ( 2 ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → 2 1 F 2 ( x ) ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = lim x → 2 ( ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t ) ′ ( F 2 ( x ) ) ′ = lim x → 2 ( x − 2 ) F ( x ) 2 F ( x ) f ( x ) = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{F^2(x)} \displaystyle\int_2^x (t - 2) F(t)\, dt = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left(\displaystyle\int_2^x (t - 2) F(t)\, dt\right)'}{\left(F^2(x)\right)'} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2) F(x)}{2F(x) f(x)} = x → 2 lim F 2 ( x ) 1 ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t = x → 2 lim ( F 2 ( x ) ) ′ ( ∫ 2 x ( t − 2 ) F ( t ) d t ) ′ = x → 2 lim 2 F ( x ) f ( x ) ( x − 2 ) F ( x ) = 3p = lim x → 2 x − 2 2 f ( x ) = lim x → 2 x ln x 2 ( x + 2 ) = ln 2 4 = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{2f(x)} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \ln x}{2(x + 2)} = \dfrac{\ln 2}{4} = x → 2 lim 2 f ( x ) x − 2 = x → 2 lim 2 ( x + 2 ) x ln x = 4 ln 2 2p
Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al III-lea, problema 2
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x − 2 x 2 − 4 x + 5 f(x) = \dfrac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} f ( x ) = x 2 − 4 x + 5 x − 2
a) · 5p
Arătați că ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = 2 \displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt{x^2 - 4x + 5}\,dx = 2 ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = ∫ 2 4 ( x − 2 ) d x = ( x 2 2 − 2 x ) ∣ 2 4 = \displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt{x^2 - 4x + 5}\,dx = \int_2^4 (x - 2)\,dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} - 2x\right)\right|_2^4 = ∫ 2 4 f ( x ) x 2 − 4 x + 5 d x = ∫ 2 4 ( x − 2 ) d x = ( 2 x 2 − 2 x ) 2 4 = 3p = 0 − ( − 2 ) = 2 = 0 - (-2) = 2 = 0 − ( − 2 ) = 2 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 1 3 f ( x ) d x = 0 \displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = 0 ∫ 1 3 f ( x ) d x = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 3 f ( x ) d x = ∫ 1 3 ( x 2 − 4 x + 5 ) ′ 2 x 2 − 4 x + 5 d x = x 2 − 4 x + 5 ∣ 1 3 = \displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx = \int_1^3 \dfrac{\left(x^2 - 4x + 5\right)'}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}}\,dx = \left.\sqrt{x^2 - 4x + 5}\right|_1^3 = ∫ 1 3 f ( x ) d x = ∫ 1 3 2 x 2 − 4 x + 5 ( x 2 − 4 x + 5 ) ′ d x = x 2 − 4 x + 5 1 3 = 3p = 2 − 2 = 0 = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 = 2 − 2 = 0 2p
c) · 5p
Determinați numărul real nenul m m m g : [ 2 , 3 ] → R g: [2, 3] \to \mathbb{R} g : [ 2 , 3 ] → R g ( x ) = f ( x ) g(x) = f(x) g ( x ) = f ( x ) O x Ox O x π ( 1 − π m ) \pi\left(1 - \dfrac{\pi}{m}\right) π ( 1 − m π )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte V = π ∫ 2 3 f 2 ( x ) d x = π ∫ 2 3 x 2 − 4 x + 4 x 2 − 4 x + 5 d x = π ∫ 2 3 ( 1 − 1 ( x − 2 ) 2 + 1 ) d x = π ( x − arctg ( x − 2 ) ) ∣ 2 3 = V = \pi\displaystyle\int_2^3 f^2(x)\,dx = \pi\int_2^3 \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4x + 5}\,dx = \pi\int_2^3 \left(1 - \dfrac{1}{(x - 2)^2 + 1}\right)dx = \pi\big(x - \operatorname{arctg}(x - 2)\big)\Big|_2^3 = V = π ∫ 2 3 f 2 ( x ) d x = π ∫ 2 3 x 2 − 4 x + 5 x 2 − 4 x + 4 d x = π ∫ 2 3 ( 1 − ( x − 2 ) 2 + 1 1 ) d x = π ( x − arctg ( x − 2 ) ) 2 3 = 3p = π ( 1 − π 4 ) = \pi\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = π ( 1 − 4 π ) π ( 1 − π m ) = π ( 1 − π 4 ) \pi\left(1 - \dfrac{\pi}{m}\right) = \pi\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) π ( 1 − m π ) = π ( 1 − 4 π ) m = 4 m = 4 m = 4 2p
Celelalte poziții Bac M1