Sari la conținut

MateSim

Derivate și studiul funcțiilor · Bac M1

Derivate și studiul funcțiilor la bac mate M1 (Subiectul al III-lea, problema 1): ce se dă de obicei (limite și continuitate, derivate, monotonie, extreme, asimptote, convexitate) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La bac la matematică M1, Subiectul al III-lea · Problema 1 este mereu despre derivate și studiul funcțiilor. Cel mai des apar: limite și continuitate, derivate, monotonie, extreme, asimptote, convexitate. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

108de cerințe oficiale pe MateSim

36de lucrări, 2018–2027

Problema 1Subiectul al III-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 108 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Derivate și studiul funcțiilor: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M1 (mate-info) · Subiectul al III-lea, problema 1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{x^2+4x-1}{x\sqrt{x}}$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}(x-1)(x-3)}{2x^3}$ , $x\in(0,+\infty)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x)=\dfrac{(2x+4)x\sqrt{x}-\left(x^2+4x-1\right)\cdot\frac{3\sqrt{x}}{2}}{x^3}=$	3p
$=\dfrac{\sqrt{x}\left(x^2-4x+3\right)}{2x^3}=\dfrac{\sqrt{x}(x-1)(x-3)}{2x^3}$ , $x\in(0,+\infty)$	2p

b) · 5p

Determinați numerele $a\in(0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a,f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a,f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox\Leftrightarrow f'(a)=0$	3p
$\dfrac{\sqrt{a}(a-1)(a-3)}{2a^3}=0$ și, cum $a\in(0,+\infty)$ , obținem $a=1$ sau $a=3$	2p

c) · 5p

Demonstrați că $f(x)-4f\left(\dfrac{1}{4x}\right)\le 2$ , pentru orice $x\in(0,1]$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Pentru orice $x\in(0,1]$ , $f'(x)\ge 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $(0,1]$ ; pentru orice $x\in[1,3]$ , $f'(x)\le 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[1,3]$ ; pentru orice $x\in[3,+\infty)$ , $f'(x)\ge 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[3,+\infty)$	2p
$x\in(0,1]\Rightarrow\dfrac{1}{4x}\in\left[\dfrac{1}{4},+\infty\right)$ și, cum $f(1)=4$ , $f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{2}$ , $f(3)=\dfrac{20}{3\sqrt{3}}>\dfrac{1}{2}$ , obținem $f(x)\le 4$ și $f\left(\dfrac{1}{4x}\right)\ge\dfrac{1}{2}$ , de unde rezultă că $f(x)-4f\left(\dfrac{1}{4x}\right)\le 2$ , pentru orice $x\in(0,1]$	3p

Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al III-lea, problema 1

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^3 - 4x}{x^2 + 5}$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x) = \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 20)}{(x^2 + 5)^2}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x) = \dfrac{(3x^2 - 4)(x^2 + 5) - (x^3 - 4x)\cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} =$	3p
$= \dfrac{x^4 + 19x^2 - 20}{(x^2 + 5)^2} = \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 20)}{(x^2 + 5)^2}$ , $x \in \mathbb{R}$	2p

b) · 5p

Arătați că dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\lim\limits_{x \to +\infty}\big(f(x) - x\big) =$	2p
$= \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{-9x}{x^2 + 5} = 0$ , deci dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$	3p

c) · 5p

Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x) = m$ are exact trei soluții.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1$ sau $x = 1$ ; pentru orice $x \in (-\infty, -1)$ , $f'(x) > 0$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, -1)$ , pentru orice $x \in (-1, 1)$ , $f'(x) < 0$ , deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-1, 1)$ și, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ , $f'(x) > 0$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$	2p
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ , $f(-1) = \dfrac{1}{2}$ , $f(1) = -\dfrac{1}{2}$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, de unde obținem că ecuația $f(x) = m$ are exact trei soluții dacă și numai dacă $m \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$	3p

Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al III-lea, problema 1

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x^2 - 4x - 3 - (2x - 3)e^{2x}$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x) = 4(x - 1)\left(1 - e^{2x}\right)$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x) = 4x - 4 - 2e^{2x} - (2x - 3) \cdot 2e^{2x} =$	3p
$= 4(x - 1) - 4(x - 1)e^{2x} = 4(x - 1)\left(1 - e^{2x}\right)$ , $x \in \mathbb{R}$	2p

b) · 5p

Arătați că $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2} = 4$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{\left(x^2\right)'} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4(x - 1)\left(1 - e^{2x}\right)}{2x}$	3p
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - e^{2x}}{2x} = -1$ , de unde obținem $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2} = 4(-1)(-1) = 4$	2p

c) · 5p

Demonstrați că ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ sau $x = 1$ ; pentru orice $x \in (-\infty, 0]$ , $f'(x) \le 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$ , pentru orice $x \in [0, 1]$ , $f'(x) \ge 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[0, 1]$ și, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ , $f'(x) < 0$ , deci $f$ este strict descrescătoare pe $(1, +\infty)$	3p
Cum $f(0) = 0$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ și $f$ este continuă, obținem că ecuația $f(x) + n = 0$ are soluție unică pentru orice număr natural nenul $n$	2p

Celelalte poziții Bac M1