Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Determinați numărul real x x x x x x 8 8 8 2 x + 1 2x+1 2 x + 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x + 2 x + 1 2 = 8 \dfrac{x+2x+1}{2}=8 2 x + 2 x + 1 = 8 3p x = 5 x=5 x = 5 2p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcțiile f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x + 1 f(x)=2x+1 f ( x ) = 2 x + 1 g : R → R g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} g : R → R g ( x ) = x + 4 g(x)=x+4 g ( x ) = x + 4 a a a ( f ∘ g ) ( a ) = − a (f\circ g)(a)=-a ( f ∘ g ) ( a ) = − a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte g ( a ) = a + 4 g(a)=a+4 g ( a ) = a + 4 ( f ∘ g ) ( a ) = 2 a + 9 (f\circ g)(a)=2a+9 ( f ∘ g ) ( a ) = 2 a + 9 a a a 3p 2 a + 9 = − a 2a+9=-a 2 a + 9 = − a a = − 3 a=-3 a = − 3 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 log 5 x = log 5 ( 4 x + 5 ) 2\log_5 x=\log_5(4x+5) 2 log 5 x = log 5 ( 4 x + 5 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte log 5 x 2 = log 5 ( 4 x + 5 ) \log_5 x^2=\log_5(4x+5) log 5 x 2 = log 5 ( 4 x + 5 ) x 2 − 4 x − 5 = 0 x^2-4x-5=0 x 2 − 4 x − 5 = 0 2p x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 5 x=5 x = 5 3p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Se consideră mulțimea A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 8 } A=\{1,3,5,7,8\} A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 8 } A A A
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Cifra zecilor se poate alege în 4 4 4 2p Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 4 4 4 4 ⋅ 4 = 16 4\cdot 4=16 4 ⋅ 4 = 16 3p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 0 , 5 ) A(0,5) A ( 0 , 5 ) B ( 3 , 4 ) B(3,4) B ( 3 , 4 ) C C C 3 O C → = O A → + O B → 3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} 3 OC = O A + OB
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte O A → = 5 j ⃗ \overrightarrow{OA}=5\vec{j} O A = 5 j O B → = 3 i ⃗ + 4 j ⃗ \overrightarrow{OB}=3\vec{i}+4\vec{j} OB = 3 i + 4 j O A → + O B → = 3 i ⃗ + 9 j ⃗ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\vec{i}+9\vec{j} O A + OB = 3 i + 9 j 3p O C → = 1 3 ( O A → + O B → ) \overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right) OC = 3 1 ( O A + OB ) O C → = i ⃗ + 3 j ⃗ \overrightarrow{OC}=\vec{i}+3\vec{j} OC = i + 3 j C ( 1 , 3 ) C(1,3) C ( 1 , 3 ) 2p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A = π 2 A=\dfrac{\pi}{2} A = 2 π C = π 3 C=\dfrac{\pi}{3} C = 3 π A E = 2 AE=2 A E = 2 E E E C C C A B AB A B B B B C E CE CE 2 3 2\sqrt{3} 2 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte E C B ^ = π 6 = E B C ^ \widehat{ECB}=\dfrac{\pi}{6}=\widehat{EBC} ECB = 6 π = EBC E B = E C EB=EC EB = EC d ( B , C E ) = d ( C , B E ) = C A d(B,CE)=d(C,BE)=CA d ( B , CE ) = d ( C , BE ) = C A 3p tg A C E ^ = A E A C \operatorname{tg}\widehat{ACE}=\dfrac{AE}{AC} tg A CE = A C A E 1 3 = 2 A C \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{AC} 3 1 = A C 2 d ( B , C E ) = 2 3 d(B,CE)=2\sqrt{3} d ( B , CE ) = 2 3 2p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 0 − 2 1 1 1 − a 2 1 − 2 ) A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} A ( a ) = a 1 2 0 1 1 − 2 1 − a − 2 { a x − 2 z = 4 x + y + ( 1 − a ) z = 3 2 x + y − 2 z = 5 \begin{cases} ax-2z=4 \\ x+y+(1-a)z=3 \\ 2x+y-2z=5 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x − 2 z = 4 x + y + ( 1 − a ) z = 3 2 x + y − 2 z = 5 a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 2 \det\big(A(0)\big)=2 det ( A ( 0 ) ) = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 0 ) = ( 0 0 − 2 1 1 1 2 1 − 2 ) ⇒ det ( A ( 0 ) ) = ∣ 0 0 − 2 1 1 1 2 1 − 2 ∣ = A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(0)\big)=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}= A ( 0 ) = 0 1 2 0 1 1 − 2 1 − 2 ⇒ det ( A ( 0 ) ) = 0 1 2 0 1 1 − 2 1 − 2 = 2p = 0 − 2 + 0 + 4 − 0 − 0 = 2 =0-2+0+4-0-0=2 = 0 − 2 + 0 + 4 − 0 − 0 = 2 3p
b) · 5p
Determinați mulțimea numerelor reale a a a A ( a ) A(a) A ( a )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det ( A ( a ) ) = ∣ a 0 − 2 1 1 1 − a 2 1 − 2 ∣ = a 2 − 3 a + 2 \det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}=a^2-3a+2 det ( A ( a ) ) = a 1 2 0 1 1 − 2 1 − a − 2 = a 2 − 3 a + 2 a a a 2p det ( A ( a ) ) = 0 ⇔ a = 1 \det\big(A(a)\big)=0\Leftrightarrow a=1 det ( A ( a ) ) = 0 ⇔ a = 1 a = 2 a=2 a = 2 A ( a ) A(a) A ( a ) a ∈ R ∖ { 1 , 2 } a\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\} a ∈ R ∖ { 1 , 2 } 3p
c) · 5p
Pentru a = 2 a=2 a = 2 x 0 z 0 + y 0 ≥ 0 x_0z_0+y_0\ge 0 x 0 z 0 + y 0 ≥ 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) x 0 x_0 x 0 y 0 y_0 y 0 z 0 z_0 z 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Pentru a = 2 a=2 a = 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) x 0 , y 0 , z 0 ∈ R x_0,y_0,z_0\in\mathbb{R} x 0 , y 0 , z 0 ∈ R ( α , 1 , α − 2 ) (\alpha,1,\alpha-2) ( α , 1 , α − 2 ) α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R 3p x 0 z 0 + y 0 = ( α − 1 ) 2 ≥ 0 x_0z_0+y_0=(\alpha-1)^2\ge 0 x 0 z 0 + y 0 = ( α − 1 ) 2 ≥ 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) x 0 , y 0 , z 0 ∈ R x_0,y_0,z_0\in\mathbb{R} x 0 , y 0 , z 0 ∈ R 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea M = ( 1 , + ∞ ) M=(1,+\infty) M = ( 1 , + ∞ ) x ∗ y = x y − 1 ( x − 1 ) ( y − 1 ) x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)} x ∗ y = ( x − 1 ) ( y − 1 ) x y − 1
a) · 5p
Arătați că 3 ∗ 5 = 7 4 3*5=\dfrac{7}{4} 3 ∗ 5 = 4 7
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 3 ∗ 5 = 3 ⋅ 5 − 1 ( 3 − 1 ) ( 5 − 1 ) = 3*5=\dfrac{3\cdot 5-1}{(3-1)(5-1)}= 3 ∗ 5 = ( 3 − 1 ) ( 5 − 1 ) 3 ⋅ 5 − 1 = 3p = 14 2 ⋅ 4 = 7 4 =\dfrac{14}{2\cdot 4}=\dfrac{7}{4} = 2 ⋅ 4 14 = 4 7 2p
b) · 5p
Determinați x ∈ M x\in M x ∈ M x ∗ x = 3 x*x=3 x ∗ x = 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∗ x = x 2 − 1 ( x − 1 ) 2 = x + 1 x − 1 x*x=\dfrac{x^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x-1} x ∗ x = ( x − 1 ) 2 x 2 − 1 = x − 1 x + 1 x ∈ M x\in M x ∈ M 3p x + 1 x − 1 = 3 \dfrac{x+1}{x-1}=3 x − 1 x + 1 = 3 x = 2 x=2 x = 2 2p
c) · 5p
Demonstrați că ( x ∗ 2 ) ∗ x > 2 (x*2)*x>2 ( x ∗ 2 ) ∗ x > 2 x ∈ M x\in M x ∈ M
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∗ 2 = 2 x − 1 x − 1 x*2=\dfrac{2x-1}{x-1} x ∗ 2 = x − 1 2 x − 1 ( x ∗ 2 ) ∗ x = 2 x 2 − 2 x + 1 x ( x − 1 ) = (x*2)*x=\dfrac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}= ( x ∗ 2 ) ∗ x = x ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x + 1 = 3p = 2 + 1 x ( x − 1 ) > 2 =2+\dfrac{1}{x(x-1)}>2 = 2 + x ( x − 1 ) 1 > 2 x ∈ M x\in M x ∈ M 2p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x + ln 2 x − x ln x f(x)=x+\ln^2 x-x\ln x f ( x ) = x + ln 2 x − x ln x
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = ( 2 − x ) ln x x f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x} f ′ ( x ) = x ( 2 − x ) ln x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 1 + 2 ln x x − ln x − 1 = f'(x)=1+\dfrac{2\ln x}{x}-\ln x-1= f ′ ( x ) = 1 + x 2 ln x − ln x − 1 = 3p = 2 ln x − x ln x x = ( 2 − x ) ln x x =\dfrac{2\ln x-x\ln x}{x}=\dfrac{(2-x)\ln x}{x} = x 2 ln x − x ln x = x ( 2 − x ) ln x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f f f f f f O x Ox O x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Tangenta la graficul funcției f f f A ( a , f ( a ) ) A(a,f(a)) A ( a , f ( a )) O x ⇔ f ′ ( a ) = 0 Ox\Leftrightarrow f'(a)=0 O x ⇔ f ′ ( a ) = 0 a ∈ ( 0 , + ∞ ) a\in(0,+\infty) a ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p ( 2 − a ) ln a a = 0 \dfrac{(2-a)\ln a}{a}=0 a ( 2 − a ) ln a = 0 a = 1 a=1 a = 1 a = 2 a=2 a = 2 3p
c) · 5p
Demonstrați că ecuația f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Pentru orice x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( 0 , 1 ] (0,1] ( 0 , 1 ] x ∈ [ 1 , 2 ] x\in[1,2] x ∈ [ 1 , 2 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ] x ∈ ( 2 , + ∞ ) x\in(2,+\infty) x ∈ ( 2 , + ∞ ) f ′ ( x ) < 0 f'(x)<0 f ′ ( x ) < 0 f f f ( 2 , + ∞ ) (2,+\infty) ( 2 , + ∞ ) 2p Cum f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty x → + ∞ lim f ( x ) = − ∞ f f f f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 − 2 + x 2 + 4 f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4} f ( x ) = x 2 − 2 + x 2 + 4
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 3 ( f ( x ) − x 2 + 4 ) d x = 3 \displaystyle\int_0^3\left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)dx=3 ∫ 0 3 ( f ( x ) − x 2 + 4 ) d x = 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 3 ( f ( x ) − x 2 + 4 ) d x = ∫ 0 3 ( x 2 − 2 ) d x = ( x 3 3 − 2 x ) ∣ 0 3 = \displaystyle\int_0^3\left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)dx=\int_0^3\left(x^2-2\right)dx=\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-2x\right)\right|_0^3= ∫ 0 3 ( f ( x ) − x 2 + 4 ) d x = ∫ 0 3 ( x 2 − 2 ) d x = ( 3 x 3 − 2 x ) 0 3 = 3p = 9 − 6 = 3 =9-6=3 = 9 − 6 = 3 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 5 x f ( x ) − x 2 + 2 d x = 1 \displaystyle\int_0^{\sqrt{5}}\dfrac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=1 ∫ 0 5 f ( x ) − x 2 + 2 x d x = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 5 x f ( x ) − x 2 + 2 d x = ∫ 0 5 x x 2 + 4 d x = ∫ 0 5 ( x 2 + 4 ) ′ 2 x 2 + 4 d x = x 2 + 4 ∣ 0 5 = \displaystyle\int_0^{\sqrt{5}}\dfrac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=\int_0^{\sqrt{5}}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\int_0^{\sqrt{5}}\dfrac{\left(x^2+4\right)'}{2\sqrt{x^2+4}}\,dx=\left.\sqrt{x^2+4}\right|_0^{\sqrt{5}}= ∫ 0 5 f ( x ) − x 2 + 2 x d x = ∫ 0 5 x 2 + 4 x d x = ∫ 0 5 2 x 2 + 4 ( x 2 + 4 ) ′ d x = x 2 + 4 0 5 = 3p = 3 − 2 = 1 =3-2=1 = 3 − 2 = 1 2p
c) · 5p
Demonstrați că lim x → 0 1 x 2 ∫ 0 x F ( t ) d t = 0 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\displaystyle\int_0^x F(t)\,dt=0 x → 0 lim x 2 1 ∫ 0 x F ( t ) d t = 0 F : R → R F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} F : R → R f f f F ( 0 ) = 0 F(0)=0 F ( 0 ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → 0 1 x 2 ∫ 0 x F ( t ) d t = lim x → 0 ( ∫ 0 x F ( t ) d t ) ′ ( x 2 ) ′ = lim x → 0 F ( x ) 2 x = lim x → 0 F ′ ( x ) ( 2 x ) ′ = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\displaystyle\int_0^x F(t)\,dt=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left(\int_0^x F(t)\,dt\right)'}{\left(x^2\right)'}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{F(x)}{2x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{F'(x)}{(2x)'}= x → 0 lim x 2 1 ∫ 0 x F ( t ) d t = x → 0 lim ( x 2 ) ′ ( ∫ 0 x F ( t ) d t ) ′ = x → 0 lim 2 x F ( x ) = x → 0 lim ( 2 x ) ′ F ′ ( x ) = 3p = lim x → 0 f ( x ) 2 = f ( 0 ) 2 = 0 =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{2}=\dfrac{f(0)}{2}=0 = x → 0 lim 2 f ( x ) = 2 f ( 0 ) = 0 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M1 Toate subiectele →