Subiecte bac mate M1 2026 iunie rezolvate, cu barem

Aceasta este lucrarea dată la proba de matematică M1 (mate-info) în sesiunea iunie 2026, varianta 3, publicată de Ministerul Educației (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare). Fiecare cerință are rezolvarea pe pașii baremului oficial, cu punctele fiecărui pas, plus câteva rânduri despre ce trebuie reținut. Toate subiectele sunt obligatorii, se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de trei ore.

Sfat: încearcă întâi singur fiecare cerință, apoi citește rezolvarea. Sau dă lucrarea ca simulare pe MateSim, pe cronometru, și vezi ce notă iei.

Toate variantele oficiale 2020–2026, pe timp, cu notă la final.

Dă lucrarea ca simulare →

Subiectul I (30 de puncte)

Exercițiul 1: numere complexe

Enunț. Se consideră numărul complex $z = 3 - i$ . Arătați că $z(z + 2i) = 10$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$z(z+2i) = (3-i)(3+i) = 9 - i^2 =$	2p
$= 9 - (-1) = 10$	3p

De reținut: $z + 2i = 3 + i$ este conjugatul lui $z$ , iar $z\cdot\bar z = |z|^2 = 3^2 + 1^2 = 10$ .

Exercițiul 2: funcții

Enunț. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 3x - 4$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(-2a) = a$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$f(a) = 3a - 4$ , $f(-2a) = -6a - 4$ , pentru orice număr real $a$	3p
$3a - 4 - 6a - 4 = a$ , de unde obținem $a = -2$	2p

De reținut: $f(-2a)$ înseamnă că înlocuiești $x$ cu $-2a$ : $3\cdot(-2a) - 4$ . Primul pas valorează mai mult decât rezultatul.

Exercițiul 3: ecuație irațională

Enunț. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 + 7} = 2\sqrt{x + 1}$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$x^2 + 7 = 4(x + 1)$ , de unde obținem $x^2 - 4x + 3 = 0$	2p
$x = 1$ sau $x = 3$ , care convin	3p

De reținut: după ridicarea la pătrat verifici soluțiile. Pentru $x = 1$ : $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ; pentru $x = 3$ : $\sqrt{16} = 2\cdot 2$ . Ambele convin.

Exercițiul 4: combinatorică

Enunț. Se consideră mulțimea $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ . Determinați câte dintre submulțimile mulțimii $A$ au exact trei elemente și conțin numărul $5$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
Numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$ care conțin pe $5$ este egal cu numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $A \setminus \{5\}$	3p
$A \setminus \{5\}$ are $C_4^2 = 6$ submulțimi cu exact două elemente	2p

De reținut: dacă un element e obligatoriu, îl fixezi și alegi restul dintre celelalte: $C_4^2 = \dfrac{4\cdot 3}{2} = 6$ .

Exercițiul 5: geometrie analitică

Enunț. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,6)$ , $B(4,1)$ și $C(5,a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

Rezolvare (barem)	Puncte
$m_{OA} = \dfrac{6 - 0}{3 - 0} = 2$	2p
$m_{BC} = \dfrac{a - 1}{5 - 4} = a - 1$ și, cum $m_{OA} = m_{BC}$ , obținem $a = 3$	3p

De reținut: două drepte (neverticale) sunt paralele când au aceeași pantă, $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Exercițiul 6: trigonometrie

Enunț. Se consideră expresia $E(x) = \left(1 + \operatorname{tg}^2 x\right)\sin\dfrac{x}{2} + \cos 3x$ , unde $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ . Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ , $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ , $\cos\pi = -1$	3p
$E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(1 + 3\right)\cdot\dfrac{1}{2} + (-1) = 2 - 1 = 1$	2p

De reținut: aici punctele vin din valorile trigonometrice. Tabelul cu valorile pentru $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ , $\dfrac{\pi}{3}$ trebuie știut pe de rost.

Toate exercițiile de la Subiectul I din 2020–2026, pe poziții.

Exersează Subiectul I →

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Problema 1: matrice și sisteme

Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare $\begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}$ , unde $a$ este număr real.

a) Arătați că $\det\big(A(1)\big) = 2$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$\det\big(A(1)\big) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} =$	2p
$= 3 + 2 + 0 - 0 - 2 - 1 = 2$	3p

b) Arătați că, pentru orice număr real $a$ , sistemul de ecuații are soluție unică.

Rezolvare (barem)	Puncte
$\det\big(A(a)\big) = a^2 - 2a + 3$ , pentru orice număr real $a$	3p
$\det\big(A(a)\big) = (a-1)^2 + 2 \neq 0$ , deci sistemul are soluție unică pentru orice $a$	2p

Determinantul cu regula lui Sarrus: $3 + 2a^2 + 0 - 0 - 2a - a^2 = a^2 - 2a + 3$ . Un sistem cu determinantul matricei nenul este de tip Cramer, deci are soluție unică.

c) Determinați numărul natural nenul $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $(x_0, y_0, z_0)$ , cu $z_0 = nx_0$ , unde $n$ este număr natural.

Rezolvare (barem)	Puncte
$2a = n(3 - 2a)$ , unde $a$ și $n$ sunt numere naturale, $a$ nenul	3p
$3 - 2a > 0$ și, cum $a$ este număr natural nenul, obținem $a = 1$ , care convine	2p

Cum ajungi la prima relație: din a treia ecuație $z_0 = -2y_0$ . Înlocuit în a doua: $ax_0 + 3y_0 - 2ay_0 = 0$ , deci $y_0 = \dfrac{ax_0}{2a - 3}$ și $z_0 = \dfrac{2ax_0}{3 - 2a}$ . Dacă $x_0 = 0$ , atunci $y_0 = z_0 = 0$ , iar prima ecuație ar da $0 = 1$ , imposibil. Deci $x_0 \neq 0$ , iar $z_0 = nx_0$ devine $2a = n(3 - 2a)$ . Cum $2a > 0$ , trebuie $3 - 2a > 0$ , adică $a = 1$ (și atunci $n = 2$ ). Verificare: pentru $a = 1$ , soluția este $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}, 1\right)$ și $1 = 2\cdot\dfrac{1}{2}$ .

Problema 2: lege de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \dfrac{2}{3}(x - 3)(y - 3) + 3$ .

a) Arătați că $0 * 2 = 5$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$0 * 2 = \dfrac{2}{3}(0 - 3)(2 - 3) + 3 =$	3p
$= 2 + 3 = 5$	2p

b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * \dfrac{3x}{2} = 5x$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$x * \dfrac{3x}{2} = x^2 - 5x + 9$ , pentru orice număr real $x$	2p
$x^2 - 5x + 9 = 5x$ , de unde obținem $x = 1$ sau $x = 9$	3p

Calculul primului pas: $\dfrac{2}{3}(x-3)\left(\dfrac{3x}{2} - 3\right) + 3 = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}(x-3)(x-2) + 3 = x^2 - 5x + 9$ . Apoi $x^2 - 10x + 9 = 0$ .

c) Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * m * n = -1$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$m * m = \dfrac{2}{3}(m - 3)^2 + 3$ , $m * m * n = \dfrac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) + 3$	2p
$(m - 3)^2(n - 3) = -9$ și, cum $m$ , $n$ sunt naturale, obținem perechile $(0, 2)$ și $(6, 2)$	3p

De ce doar acestea: $n$ este natural, deci $n - 3 \geq -3$ , iar $(m-3)^2$ este pătrat perfect. Produsul $-9$ se poate scrie doar ca $9\cdot(-1)$ (varianta $1\cdot(-9)$ cere $n = -6$ , iar $3$ nu e pătrat perfect). Deci $n = 2$ și $m - 3 = \pm 3$ , adică $m = 0$ sau $m = 6$ .

Toate problemele de la Subiectul II.2 din 2020–2026.

Exersează legile de compoziție →

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Problema 1: studiul unei funcții

Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^3 - 4x}{x^2 + 5}$ .

a) Arătați că $f'(x) = \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 20)}{(x^2 + 5)^2}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$f'(x) = \dfrac{(3x^2 - 4)(x^2 + 5) - (x^3 - 4x)\cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} =$	3p
$= \dfrac{x^4 + 19x^2 - 20}{(x^2 + 5)^2} = \dfrac{(x^2 - 1)(x^2 + 20)}{(x^2 + 5)^2}$	2p

De reținut: formula câtului, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ , valorează aici 3 puncte din 5.

b) Arătați că dreapta de ecuație $y = x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$\lim\limits_{x \to +\infty}\big(f(x) - x\big) =$	2p
$= \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{-9x}{x^2 + 5} = 0$ , deci $y = x$ este asimptota oblică spre $+\infty$	3p

Calculul: $f(x) - x = \dfrac{x^3 - 4x - x^3 - 5x}{x^2 + 5} = \dfrac{-9x}{x^2 + 5}$ , iar gradul numitorului e mai mare, deci limita este $0$ .

c) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x) = m$ are exact trei soluții.

Rezolvare (barem)	Puncte
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ; $f$ strict crescătoare pe $(-\infty, -1)$ , strict descrescătoare pe $(-1, 1)$ , strict crescătoare pe $(1, +\infty)$	2p
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ , $f(-1) = \dfrac{1}{2}$ , $f(1) = -\dfrac{1}{2}$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , $f$ continuă, deci $m \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$	3p

Ideea: semnul lui $f'$ e dat de $x^2 - 1$ . Graficul urcă de la $-\infty$ până la $\dfrac{1}{2}$ , coboară până la $-\dfrac{1}{2}$ , apoi urcă spre $+\infty$ . O dreaptă orizontală $y = m$ taie graficul de trei ori doar strict între cele două valori.

Problema 2: integrale

Se consideră funcția $f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x \ln x}$ .

a) Arătați că $\displaystyle\int_2^3 f(x)\, x \ln x \, dx = \dfrac{7}{3}$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$\displaystyle\int_2^3 (x^2 - 4)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} - 4x\right)\right\vert_2^3 =$	3p
$= -3 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3}$	2p

b) Arătați că $\displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4}\, dx = \ln 2$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
$\displaystyle\int_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x}\, dx = \int_e^{e^2} \dfrac{(\ln x)'}{\ln x}\, dx = \left.\ln(\ln x)\right\vert_e^{e^2} =$	3p
$= \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$	2p

De reținut: $\displaystyle\int \dfrac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$ , cu $u = \ln x$ . Aici $\ln(e^2) = 2$ și $\ln e = 1$ .

c) Arătați că $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{F^2(x)} \displaystyle\int_2^x (t - 2) F(t)\, dt = \dfrac{\ln 2}{4}$ , unde $F: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(2) = 0$ .

Rezolvare (barem)	Puncte
Cu regula lui l'Hôpital: $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2) F(x)}{2F(x) f(x)} =$	3p
$= \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{2f(x)} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \ln x}{2(x + 2)} = \dfrac{\ln 2}{4}$	2p

De ce merge: pentru $x \to 2$ , atât integrala, cât și $F^2(x)$ tind la $0$ , deci avem cazul $\dfrac{0}{0}$ . Derivata integralei cu limita de sus $x$ este $(x-2)F(x)$ , iar $\left(F^2(x)\right)' = 2F(x)f(x)$ . Funcția $f$ e negativă pe $(1, 2)$ și pozitivă pe $(2, +\infty)$ , deci $F$ are minimul $F(2) = 0$ și $F(x) \neq 0$ pentru $x \neq 2$ : putem simplifica cu $F(x)$ . La final, $\dfrac{x-2}{f(x)} = \dfrac{x \ln x}{x + 2}$ , pentru că $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ .

Toate problemele de la Subiectul III.2, cu barem și verificare cu AI.

Exersează integralele →

Câte puncte iei dacă…

Rezolvi tot Subiectul I: 30 de puncte, plus 10 din oficiu, adică cel puțin nota 4.
Faci și punctele a) de la toate problemele: încă 20 de puncte. Punctele a) sunt aproape mereu calcule directe: un determinant, o lege de compoziție, o derivată, o integrală simplă. Cu ele ajungi la 6.
Adaugi punctele b): încă până la 20 de puncte, deci nota 8.

Întrebări frecvente

Care a fost varianta dată la bacul la mate M1 în iunie 2026?

La proba de matematică M1 (mate-info) din sesiunea iunie 2026 s-a dat varianta 3. Ea cuprinde numere complexe, funcții, o ecuație irațională, combinatorică, geometrie analitică și trigonometrie la Subiectul I, un sistem cu parametru și o lege de compoziție la Subiectul II, studiul unei funcții raționale și integrale la Subiectul III.

Unde găsesc baremul pentru subiectele de bac M1 2026?

Baremul oficial este publicat de Ministerul Educației odată cu subiectul. Pe această pagină fiecare cerință are rezolvarea pe pașii baremului, cu punctele fiecărui pas.

Cum exersez pe subiectele de bac din 2026?

Pe MateSim poți rezolva fiecare cerință separat, cu verificarea răspunsului, sau poți da toată lucrarea ca simulare de trei ore, cu notă la final. Rezolvarea scrisă de mână o poți verifica cu AI, după barem.

Subiecte bac mate M1 2026 (iunie, varianta 3) rezolvate pas cu pas