Simularea bacului 2026 la matematică M1 (mate-info), varianta 1

Subiectul oficial de bac la matematică M1 (mate-info), 2026, simularea națională, varianta 1, cu baremul pe pași pentru toate cele 18 de cerințe. Rezolvă-l online sau ca simulare pe cronometru.

Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.

3 oretimp de lucru

18cerințe, cu barem pe pași

10pdin oficiu

Aceeași lucrare, pe timp, cu notă și verificare după barem.

Dă lucrarea ca simulare →

Subiectul I (30 de puncte)

Exercițiul 1 · 5p

Se consideră numărul complex $z=2+i$ . Arătați că $z+\overline{z}+z\cdot\overline{z}=9$ , unde $\overline{z}$ este conjugatul numărului complex $z$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$z+\overline{z}+z\cdot\overline{z}=2+i+2-i+(2+i)(2-i)=$	2p
$=4+4-i^2=8+1=9$	3p

Exerciții de același tip: Numere și progresii →

Exercițiul 2 · 5p

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=x^2-4x+m$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ au exact un punct comun.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(x)=g(x)$ , deci $x^2-6x+m+1=0$	2p
Ecuația are soluție unică, deci $\Delta=0$ și, cum $\Delta=32-4m$ , obținem $m=8$	3p

Exerciții de același tip: Funcții →

Exercițiul 3 · 5p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\left(1+\log_x 2\right)\log_2 x=5$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\log_2 x+\log_x 2\cdot\log_2 x=5$ , de unde obținem $\log_2 x=4$	3p
$x=16$ , care convine	2p

Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații →

Exercițiul 4 · 5p

Se consideră $A$ , mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu $5$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Mulțimea $A$ are $81$ de elemente, deci sunt $81$ de cazuri posibile	2p
În mulțimea $A$ sunt $17$ numere care au produsul cifrelor divizibil cu $5$ , deci sunt $17$ cazuri favorabile, de unde obținem $p=\dfrac{17}{81}$	3p

Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică →

Exercițiul 5 · 5p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(4,2)$ . Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $OB$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$m_{OB}=\dfrac{1}{2}$ și, cum $m_{OB}\cdot m_d=-1$ , obținem $m_d=-2$	3p
Ecuația dreptei $d$ este $y-5=-2x$ , adică $y=-2x+5$	2p

Exerciții de același tip: Geometrie analitică →

Exercițiul 6 · 5p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB=9$ și $AC=12$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ . Arătați că distanța de la punctul $C$ la dreapta $AM$ este egală cu $7{,}2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$AM=CM$ , de unde obținem $d(C,AM)=d(A,CM)=AD$ , unde $AD$ este înălțime a triunghiului $ABC$	3p
$BC=15$ și, cum $\dfrac{15\cdot AD}{2}=\dfrac{9\cdot 12}{2}$ , obținem $d(C,AM)=7{,}2$	2p

Exerciții de același tip: Trigonometrie →

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Problema 1

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare $\begin{cases} ax+y+z=2a \\ x-y+az=-4 \\ 3x+2y+z=8 \end{cases}$ , unde $a$ este număr real.

a) · 5p

Arătați că $\det\big(A(1)\big)=4$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$	2p
$=-1+2+3+3-2-1=4$	3p

b) · 5p

Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=-2a^2+2a+4$ , pentru orice număr real $a$	3p
$\det\big(A(a)\big)=0\Leftrightarrow a=-1$ sau $a=2$ , de unde obținem că mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă este $\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}$	2p

c) · 5p

Considerăm $(x_1,y_1,z_1)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $a=1$ . Pentru $a=2$ , determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $x_0y_0=y_1$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Pentru $a=2$ , soluțiile sistemului de ecuații liniare sunt $(\alpha,4-\alpha,-\alpha)$ , cu $\alpha\in\mathbb{R}$	2p
Pentru $a=1$ , $y_1=3$ , deci $\alpha(4-\alpha)=3$ , de unde obținem $\alpha=1$ sau $\alpha=3$ , deci soluțiile pentru care $x_0y_0=y_1$ sunt $(1,3,-1)$ și $(3,1,-3)$	3p

Exerciții de același tip: Matrice și determinanți →

Problema 2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x*y=\sqrt{\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)+m}$ , unde $m\in[-4,+\infty)$ .

a) · 5p

Pentru $m=3$ , arătați că $0*1=3$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$0*1=\sqrt{\left(0^2+2\right)\left(1^2+2\right)+3}=$	3p
$=\sqrt{9}=3$	2p

b) · 5p

Pentru $m=7$ , determinați numerele reale $x$ pentru care $x*(2x)=5$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Pentru $m=7$ , $x*(2x)=\sqrt{\left(x^2+2\right)\left(4x^2+2\right)+7}$ , pentru orice număr real $x$	2p
$\sqrt{\left(x^2+2\right)\left(4x^2+2\right)+7}=5$ , deci $2x^4+5x^2-7=0$ și, cum $x$ este număr real, obținem $x=-1$ sau $x=1$	3p

c) · 5p

Determinați $m\in[-4,+\infty)$ pentru care legea de compoziție „ $*$ ” este asociativă.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$(xy)z=x(yz)$ , pentru orice numere reale $x$ , $y$ și $z$ , de unde obținem $\left(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)+m+2\right)\left(z^2+2\right)+m=\left(x^2+2\right)\left(\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)+m+2\right)+m$	3p
$(m+2)\left(z^2+2\right)=\left(x^2+2\right)(m+2)$ , pentru orice numere reale $x$ și $z$ dacă și numai dacă $m=-2$ , care convine	2p

Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame →

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Problema 1

Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$ , $x\in(1,+\infty)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x)=\dfrac{e^{x-2}\sqrt{x-1}-e^{x-2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}=$	3p
$=\dfrac{e^{x-2}(2x-2-1)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$ , $x\in(1,+\infty)$	2p

b) · 5p

Arătați că $\lim\limits_{x\to 2}\big(f(x)\big)^{\frac{1}{x-2}}=\sqrt{e}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\lim\limits_{x\to 2}\big(f(x)\big)^{\frac{1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to 2}\big(1+f(x)-1\big)^{\frac{1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to 2}\left(\big(1+f(x)-1\big)^{\frac{1}{f(x)-1}}\right)^{\frac{f(x)-1}{x-2}}=$	3p
$=e^{\lim\limits_{x\to 2}\frac{f(x)-1}{x-2}}=e^{f'(2)}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$	2p

c) · 5p

Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=mx$ are exact două soluții.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Considerând $g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ , obținem $g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$ , deci $g'(x)=\dfrac{e^{x-2}\left(2x^2-5x+2\right)}{2x^2(x-1)\sqrt{x-1}}$ , $x\in(1,+\infty)$ ; $g'(x)=0\Rightarrow x=2$ ; pentru orice $x\in(1,2)$ , $g'(x)<0$ , deci $g$ este strict descrescătoare pe $(1,2)$ și, pentru orice $x\in(2,+\infty)$ , $g'(x)>0$ , deci $g$ este strict crescătoare pe $(2,+\infty)$	3p
Cum $\lim\limits_{x\to 1}g(x)=+\infty$ , $g(2)=\dfrac{1}{2}$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ și $g$ este continuă, obținem că ecuația $g(x)=m$ , deci ecuația $f(x)=mx$ , are exact două soluții dacă și numai dacă $m\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$	2p

Pas

Puncte

Considerând

g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

g(x)=\dfrac{f(x)}{x}

, obținem

g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}

, deci

g'(x)=\dfrac{e^{x-2}\left(2x^2-5x+2\right)}{2x^2(x-1)\sqrt{x-1}}

x\in(1,+\infty)

;

g'(x)=0\Rightarrow x=2

; pentru orice

x\in(1,2)

g'(x)<0

, deci

g

este strict descrescătoare pe

(1,2)

și, pentru orice

x\in(2,+\infty)

g'(x)>0

, deci

g

este strict crescătoare pe

(2,+\infty)

Cum

\lim\limits_{x\to 1}g(x)=+\infty

g(2)=\dfrac{1}{2}

\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty

și

g

este continuă, obținem că ecuația

g(x)=m

, deci ecuația

f(x)=mx

, are exact două soluții dacă și numai dacă

m\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)

Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor →

Problema 2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\left(4x+\dfrac{6}{x^2}\right)\ln x$ .

a) · 5p

Arătați că $\displaystyle\int_2^3\dfrac{f(x)}{\ln x}\,dx=11$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\displaystyle\int_2^3\dfrac{f(x)}{\ln x}\,dx=\int_2^3\left(4x+\dfrac{6}{x^2}\right)dx=\left.2x^2\right\|_2^3-\left.\dfrac{6}{x}\right\|_2^3=$	3p
$=10+1=11$	2p

b) · 5p

Arătați că $\displaystyle\int_1^e x\big(f(x)-4x\ln x\big)\,dx=3$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\displaystyle\int_1^e x\big(f(x)-4x\ln x\big)\,dx=\int_1^e\dfrac{6\ln x}{x}\,dx=6\int_1^e\ln x(\ln x)'\,dx=\left.3\ln^2 x\right\|_1^e=$	3p
$=3\ln^2 e-3\ln^2 1=3$	2p

c) · 5p

Determinați primitiva $F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $f$ , pentru care axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $F$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Axa $Ox$ este tangentă în punctul $A(a,F(a))$ la graficul lui $F\Rightarrow F(a)=0$ și $F'(a)=0$ , unde $a\in(0,+\infty)$ și, cum $F'(x)=f(x)$ , $x\in(0,+\infty)$ , obținem $F(a)=0$ și $f(a)=0$ , deci $a=1$	2p
$F(x)=\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt=\int_1^x\left(2t^2-\dfrac{6}{t}\right)'\ln t\,dt=\left.\left(2t^2-\dfrac{6}{t}\right)\ln t\right\|_1^x-\left.\left(t^2+\dfrac{6}{t}\right)\right\|_1^x=\left(2x^2-\dfrac{6}{x}\right)\ln x-x^2-\dfrac{6}{x}+7$ , $x\in(0,+\infty)$	3p

Exerciții de același tip: Integrale →

Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF)).

Alte subiecte Bac M1

Toate subiectele →