Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M1 (mate-info)

Subiectul oficial de bac la matematică M1 (mate-info), 2027, modelul oficial, varianta 1, cu baremul pe pași pentru toate cele 18 de cerințe. Rezolvă-l online sau ca simulare pe cronometru.

Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.

3 oretimp de lucru

18cerințe, cu barem pe pași

10pdin oficiu

Aceeași lucrare, pe timp, cu notă și verificare după barem.

Dă lucrarea ca simulare →

Subiectul I (30 de puncte)

Exercițiul 1 · 5p

Se consideră numerele complexe $z_1=1+i$ , $z_2=3-2i$ și numărul real $a$ astfel încât numărul $z_3=az_1+iz_2$ este real. Determinați $z_3$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$z_3=a+ai+3i-2i^2=a+2+(a+3)i$	3p
$a+3=0$ , deci $a=-3$ , de unde obținem $z_3=-1$	2p

Exerciții de același tip: Numere și progresii →

Exercițiul 2 · 5p

Se consideră funcția inversabilă $f:\mathbb{R}\to(3,+\infty)$ , $f(x)=2^x+3$ . Determinați $t\in(3,+\infty)$ astfel încât $f^{-1}(t)=0$ , unde $f^{-1}$ este inversa funcției $f$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(0)=t$	3p
$t=2^0+3$ , deci $t=4$	2p

Exerciții de același tip: Funcții →

Exercițiul 3 · 5p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{x^2+2}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$2x^2-4x+2=x^2+2$ , de unde obținem $x^2-4x=0$	2p
$x=0$ , care nu convine sau $x=4$ , care convine	3p

Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații →

Exercițiul 4 · 5p

Determinați câte submulțimi nevide, cu cel mult două elemente, are mulțimea $A=\{1,3,5,7\}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Mulțimea $A$ are $4$ submulțimi cu câte un element	2p
Mulțimea $A$ are $6$ submulțimi cu câte două elemente, deci sunt $4+6=10$ submulțimi nevide cu cel mult două elemente	3p

Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică →

Exercițiul 5 · 5p

Se consideră triunghiul $ABC$ , cu centrul de greutate $G$ și punctul $D$ astfel încât $\overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ . Demonstrați că patrulaterul $CGBD$ este paralelogram.

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\overrightarrow{GM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{6}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ , unde $M$ este mijlocul segmentului $BC$	2p
$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{6}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ , deci $M$ este mijlocul segmentului $GD$ , de unde obținem că patrulaterul $CGBD$ este paralelogram	3p

Exerciții de același tip: Geometrie analitică →

Exercițiul 6 · 5p

Se consideră triunghiul $ABC$ , cu $AB=AC$ , $A=\dfrac{2\pi}{3}$ și $R=2$ , unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ . Determinați distanța de la punctul $B$ la dreapta $AC$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$BC=2\cdot 2\cdot\sin\dfrac{2\pi}{3}$ , deci $BC=2\sqrt{3}$	2p
Triunghiul $BCD$ este dreptunghic în $D$ , unde punctul $D$ este proiecția lui $B$ pe $AC$ și, cum $C=\dfrac{\pi}{6}$ , obținem $BD=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{3}$	3p

Exerciții de același tip: Trigonometrie →

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Problema 1

Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} -2 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3x+2 & -2 \end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

a) · 5p

Arătați că $\det\big(A(3)\big)=4$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(3)=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(3)\big)=\begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 11 & -2 \end{vmatrix}=$	2p
$=4+0+0-0-0-0=4$	3p

b) · 5p

Arătați că $A(x)\cdot A(y)-A(x)+2A(y)=2I_3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(x)\cdot A(y)-A(x)+2A(y)=\begin{pmatrix} 4 & x-2y & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3x-6y-2 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3x+2 & -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & 2y & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 6y+4 & -4 \end{pmatrix}=$	3p
$=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=2I_3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$	2p

c) · 5p

Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=aA(x)+bI_3$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(x)\cdot A(x)=2I_3-A(x)$ , $A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=3A(x)-2I_3$ , pentru orice număr real $x$	2p
$3A(x)-2I_3=aA(x)+bI_3$ , deci $(3-a)A(x)=(b+2)I_3$ , pentru orice număr real $x$ , de unde obținem $a=3$ și $b=-2$	3p

Exerciții de același tip: Matrice și determinanți →

Problema 2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x*y=2(x-1)(y-2)+2$ .

a) · 5p

Arătați că $3*4=10$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$3*4=2(3-1)(4-2)+2=$	3p
$=8+2=10$	2p

b) · 5p

Determinați numărul real $a$ pentru care $a*x=x$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$a*x=2(a-1)(x-2)+2$ , deci $2(a-1)(x-2)+2=x$	2p
$x(2a-3)-4a+6=0$ , pentru orice număr real $x$ , de unde obținem $a=\dfrac{3}{2}$	3p

c) · 5p

Determinați tripletele $(m,n,p)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n\le p$ , pentru care $m*(n*p)=26$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$np=2(n-1)(p-2)+2$ , $m(n*p)=4(m-1)(n-1)(p-2)+2$ , pentru orice numere naturale $m$ , $n$ și $p$	2p
$4(m-1)(n-1)(p-2)+2=26$ , deci $(m-1)(n-1)(p-2)=6$ și, cum $m$ , $n$ și $p$ sunt numere naturale nenule, cu $m\le n\le p$ , obținem tripletele $(2,2,8)$ , $(2,3,5)$ și $(2,4,4)$	3p

Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame →

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Problema 1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{x^2+4x-1}{x\sqrt{x}}$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}(x-1)(x-3)}{2x^3}$ , $x\in(0,+\infty)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x)=\dfrac{(2x+4)x\sqrt{x}-\left(x^2+4x-1\right)\cdot\frac{3\sqrt{x}}{2}}{x^3}=$	3p
$=\dfrac{\sqrt{x}\left(x^2-4x+3\right)}{2x^3}=\dfrac{\sqrt{x}(x-1)(x-3)}{2x^3}$ , $x\in(0,+\infty)$	2p

b) · 5p

Determinați numerele $a\in(0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a,f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a,f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox\Leftrightarrow f'(a)=0$	3p
$\dfrac{\sqrt{a}(a-1)(a-3)}{2a^3}=0$ și, cum $a\in(0,+\infty)$ , obținem $a=1$ sau $a=3$	2p

c) · 5p

Demonstrați că $f(x)-4f\left(\dfrac{1}{4x}\right)\le 2$ , pentru orice $x\in(0,1]$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Pentru orice $x\in(0,1]$ , $f'(x)\ge 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $(0,1]$ ; pentru orice $x\in[1,3]$ , $f'(x)\le 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[1,3]$ ; pentru orice $x\in[3,+\infty)$ , $f'(x)\ge 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[3,+\infty)$	2p
$x\in(0,1]\Rightarrow\dfrac{1}{4x}\in\left[\dfrac{1}{4},+\infty\right)$ și, cum $f(1)=4$ , $f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{2}$ , $f(3)=\dfrac{20}{3\sqrt{3}}>\dfrac{1}{2}$ , obținem $f(x)\le 4$ și $f\left(\dfrac{1}{4x}\right)\ge\dfrac{1}{2}$ , de unde rezultă că $f(x)-4f\left(\dfrac{1}{4x}\right)\le 2$ , pentru orice $x\in(0,1]$	3p

Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor →

Problema 2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^3+x+1$ .

a) · 5p

Arătați că $\displaystyle\int_0^2\big(f(x)-x\big)\,dx=6$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\displaystyle\int_0^2\big(f(x)-x\big)\,dx=\int_0^2\left(x^3+1\right)dx=\left.\left(\dfrac{x^4}{4}+x\right)\right\|_0^2=$	3p
$=4+2=6$	2p

b) · 5p

Arătați că $\displaystyle\int_0^1\left(f(x)-x^3\right)e^{-x}\,dx=2-\dfrac{3}{e}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\displaystyle\int_0^1\left(f(x)-x^3\right)e^{-x}\,dx=\int_0^1(x+1)\left(-e^{-x}\right)'dx=\left.(x+1)\left(-e^{-x}\right)\right\|_0^1-\left.e^{-x}\right\|_0^1=$	3p
$=-\dfrac{2}{e}+1-\dfrac{1}{e}+1=2-\dfrac{3}{e}$	2p

c) · 5p

Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{f(x)+x^2}\,dx$ . Demonstrați că $I_n-I_{n+4}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$I_n-I_{n+4}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n-x^{n+4}}{x^3+x^2+x+1}\,dx=\int_0^1\dfrac{x^n\left(1-x^4\right)}{(x+1)\left(x^2+1\right)}\,dx=$	2p
$=\displaystyle\int_0^1 x^n(1-x)\,dx=\left.\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right\|_0^1-\left.\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\right\|_0^1=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$ , pentru orice număr natural nenul $n$	3p

Exerciții de același tip: Integrale →

Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF)).

Alte subiecte Bac M1

Toate subiectele →