Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Arătați că 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 2 3(4 - 5i) + 5i(3 + 2i) = 2 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 2 i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 12 − 15 i + 15 i + 10 i 2 = 3(4 - 5i) + 5i(3 + 2i) = 12 - 15i + 15i + 10i^2 = 3 ( 4 − 5 i ) + 5 i ( 3 + 2 i ) = 12 − 15 i + 15 i + 10 i 2 = 3p = 12 − 10 = 2 = 12 - 10 = 2 = 12 − 10 = 2 2p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcțiile f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x + 4 f(x) = x + 4 f ( x ) = x + 4 g : R → R g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} g : R → R g ( x ) = 2 x + a g(x) = 2x + a g ( x ) = 2 x + a a a a a a a ( g ∘ f ) ( 1 ) = 1 (g \circ f)(1) = 1 ( g ∘ f ) ( 1 ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 1 ) = 5 f(1) = 5 f ( 1 ) = 5 ( g ∘ f ) ( 1 ) = g ( 5 ) = 10 + a (g \circ f)(1) = g(5) = 10 + a ( g ∘ f ) ( 1 ) = g ( 5 ) = 10 + a a a a 3p 10 + a = 1 10 + a = 1 10 + a = 1 a = − 9 a = -9 a = − 9 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 ( 6 x − x 2 ) = log 2 ( 4 + x ) \log_2\left(6x - x^2\right) = \log_2 (4 + x) log 2 ( 6 x − x 2 ) = log 2 ( 4 + x )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 6 x − x 2 = 4 + x 6x - x^2 = 4 + x 6 x − x 2 = 4 + x x 2 − 5 x + 4 = 0 x^2 - 5x + 4 = 0 x 2 − 5 x + 4 = 0 2p x = 1 x = 1 x = 1 x = 4 x = 4 x = 4 3p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Se consideră mulțimea A = { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } A = \{3, 4, 5, 7, 9\} A = { 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } A A A
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Cifra unităților se poate alege în 4 4 4 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 4 4 4 ⋅ 4 = 16 4 \cdot 4 = 16 4 ⋅ 4 = 16 3p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 0 , 2 ) A(0,2) A ( 0 , 2 ) B ( 6 , 4 ) B(6,4) B ( 6 , 4 ) C C C 2 A C → = O B → 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB} 2 A C = OB
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte O B → = 6 i ⃗ + 4 j ⃗ \overrightarrow{OB} = 6\vec{i} + 4\vec{j} OB = 6 i + 4 j A C → = x C i ⃗ + ( y C − 2 ) j ⃗ \overrightarrow{AC} = x_C\vec{i} + (y_C - 2)\vec{j} A C = x C i + ( y C − 2 ) j 2p 2 x C i ⃗ + 2 ( y C − 2 ) j ⃗ = 6 i ⃗ + 4 j ⃗ 2x_C\vec{i} + 2(y_C - 2)\vec{j} = 6\vec{i} + 4\vec{j} 2 x C i + 2 ( y C − 2 ) j = 6 i + 4 j x C = 3 x_C = 3 x C = 3 y C = 4 y_C = 4 y C = 4 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 4 AB = 4 A B = 4 4 4 4 A B C ABC A BC 8 3 8\sqrt{3} 8 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte B C = 8 BC = 8 BC = 8 A C = 4 3 AC = 4\sqrt{3} A C = 4 3 3p A Δ A B C = 4 ⋅ 4 3 2 = 8 3 \mathcal{A}_{\Delta ABC} = \dfrac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} A Δ A BC = 2 4 ⋅ 4 3 = 8 3 2p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 1 2 a a 1 0 1 1 − a ) A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 2a \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix} A ( a ) = a a 1 1 1 1 2 a 0 − a { a x + y + 2 a z = a + 1 a x + y = 0 x + y − a z = − 1 \begin{cases} ax + y + 2az = a + 1 \\ ax + y = 0 \\ x + y - az = -1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + y + 2 a z = a + 1 a x + y = 0 x + y − a z = − 1 a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 4 \det\big(A(2)\big) = 4 det ( A ( 2 ) ) = 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 2 ) = ( 2 1 4 2 1 0 1 1 − 2 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 2 1 4 2 1 0 1 1 − 2 ∣ = A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det\big(A(2)\big) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = A ( 2 ) = 2 2 1 1 1 1 4 0 − 2 ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 2 2 1 1 1 1 4 0 − 2 = 2p = − 4 + 8 + 0 − 4 − 0 + 4 = 4 = -4 + 8 + 0 - 4 - 0 + 4 = 4 = − 4 + 8 + 0 − 4 − 0 + 4 = 4 3p
b) · 5p
Pentru a = 1 a = 1 a = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte a = 1 ⇒ { x + y + 2 z = 2 x + y = 0 x + y − z = − 1 a = 1 \Rightarrow \begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ x + y = 0 \\ x + y - z = -1 \end{cases} a = 1 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z = 2 x + y = 0 x + y − z = − 1 ∣ 1 1 2 1 1 0 1 1 − 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 1 1 1 1 1 1 2 0 − 1 = 0 2p ∣ 1 0 1 − 1 ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \ne 0 1 1 0 − 1 = 0 ∣ 1 2 2 1 0 0 1 − 1 − 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 1 1 1 2 0 − 1 2 0 − 1 = 0 3p
c) · 5p
Determinați numărul real a a a ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0, y_0, z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) x 0 = a x_0 = a x 0 = a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det ( A ( a ) ) = ∣ a 1 2 a a 1 0 1 1 − a ∣ = 2 a 2 − 2 a \det\big(A(a)\big) = \begin{vmatrix} a & 1 & 2a \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -a \end{vmatrix} = 2a^2 - 2a det ( A ( a ) ) = a a 1 1 1 1 2 a 0 − a = 2 a 2 − 2 a a a a a ∈ R ∖ { 0 , 1 } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} a ∈ R ∖ { 0 , 1 } 2p Obținem x 0 = − 1 2 x_0 = -\dfrac{1}{2} x 0 = − 2 1 a = − 1 2 a = -\dfrac{1}{2} a = − 2 1 3p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Se consideră polinomul f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + m f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X + m f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + m m m m
a) · 5p
Pentru m = 3 m = 3 m = 3 f ( 1 ) = 0 f(1) = 0 f ( 1 ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 3 ⇒ f ( 1 ) = 1 4 − 3 ⋅ 1 3 + 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X + 3 \Rightarrow f(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^3 + 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 3 ⇒ f ( 1 ) = 1 4 − 3 ⋅ 1 3 + 1 2 − 2 ⋅ 1 + 3 = 3p = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 = 1 - 3 + 1 - 2 + 3 = 0 = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 2p
b) · 5p
Determinați numerele reale m m m ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 1 (x_1 x_2 x_3 x_4)^2 - x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = 1 ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 1 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 4 x_4 x 4 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x 1 x 2 x 3 x 4 = m x_1 x_2 x_3 x_4 = m x 1 x 2 x 3 x 4 = m x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 ⇒ ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = m 2 − 3 x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3 \Rightarrow (x_1 x_2 x_3 x_4)^2 - x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = m^2 - 3 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 ⇒ ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) 2 − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = m 2 − 3 m m m 3p m 2 − 3 = 1 m^2 - 3 = 1 m 2 − 3 = 1 m 2 − 4 = 0 m^2 - 4 = 0 m 2 − 4 = 0 m = − 2 m = -2 m = − 2 m = 2 m = 2 m = 2 2p
c) · 5p
Pentru m = 0 m = 0 m = 0 a a a f f f X − a X - a X − a a a a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X f = X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X f ( a ) = a f(a) = a f ( a ) = a a 4 − 3 a 3 + a 2 − 3 a = 0 a^4 - 3a^3 + a^2 - 3a = 0 a 4 − 3 a 3 + a 2 − 3 a = 0 3p a ( a − 3 ) ( a 2 + 1 ) = 0 a(a - 3)\left(a^2 + 1\right) = 0 a ( a − 3 ) ( a 2 + 1 ) = 0 a a a a = 0 a = 0 a = 0 a = 3 a = 3 a = 3 2p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 + 6 x 2 + 1 f(x) = \dfrac{x^2 + 6}{\sqrt{x^2 + 1}} f ( x ) = x 2 + 1 x 2 + 6
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = x ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 f'(x) = \dfrac{x\left(x^2 - 4\right)}{\left(x^2 + 1\right)\sqrt{x^2 + 1}} f ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 x ( x 2 − 4 ) x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 2 x x 2 + 1 − ( x 2 + 6 ) ⋅ 2 x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 = f'(x) = \dfrac{2x\sqrt{x^2 + 1} - \left(x^2 + 6\right) \cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = f ′ ( x ) = x 2 + 1 2 x x 2 + 1 − ( x 2 + 6 ) ⋅ 2 x 2 + 1 2 x = 3p = 2 x 3 + 2 x − x 3 − 6 x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 = x ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 = \dfrac{2x^3 + 2x - x^3 - 6x}{\left(x^2 + 1\right)\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x\left(x^2 - 4\right)}{\left(x^2 + 1\right)\sqrt{x^2 + 1}} = ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 2 x 3 + 2 x − x 3 − 6 x = ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 x ( x 2 − 4 ) x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R 2p
b) · 5p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 0 x = 0 x = 0 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 0 ) = 6 f(0) = 6 f ( 0 ) = 6 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0) = 0 f ′ ( 0 ) = 0 2p Ecuația tangentei este y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y - f(0) = f'(0)(x - 0) y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = 6 y = 6 y = 6 3p
c) · 5p
Arătați că f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 f(7x) - f(x) \le 2\sqrt{2} f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 x ∈ [ 0 , 1 ] x \in [0, 1] x ∈ [ 0 , 1 ]
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Pentru orice x ∈ [ 0 , 2 ] x \in [0, 2] x ∈ [ 0 , 2 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x) \le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ 0 , 2 ] [0, 2] [ 0 , 2 ] x ∈ [ 2 , + ∞ ) x \in [2, +\infty) x ∈ [ 2 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x) \ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 2 , + ∞ ) [2, +\infty) [ 2 , + ∞ ) 2p x ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ 7 x ∈ [ 0 , 7 ] x \in [0, 1] \Rightarrow 7x \in [0, 7] x ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ 7 x ∈ [ 0 , 7 ] f ( 0 ) = 6 f(0) = 6 f ( 0 ) = 6 f ( 1 ) = 7 2 f(1) = \dfrac{7}{\sqrt{2}} f ( 1 ) = 2 7 f ( 7 ) = 11 2 f(7) = \dfrac{11}{\sqrt{2}} f ( 7 ) = 2 11 7 2 ≤ f ( x ) \dfrac{7}{\sqrt{2}} \le f(x) 2 7 ≤ f ( x ) f ( 7 x ) ≤ 11 2 f(7x) \le \dfrac{11}{\sqrt{2}} f ( 7 x ) ≤ 2 11 f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 f(7x) - f(x) \le 2\sqrt{2} f ( 7 x ) − f ( x ) ≤ 2 2 x ∈ [ 0 , 1 ] x \in [0, 1] x ∈ [ 0 , 1 ] 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : R → R f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 3 x 2 − 1 + e 2 x f(x) = 3x^2 - 1 + e^{2x} f ( x ) = 3 x 2 − 1 + e 2 x
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = 24 \displaystyle\int_0^3 \left(f(x) - e^{2x}\right)dx = 24 ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = 24
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = ∫ 0 3 ( 3 x 2 − 1 ) d x = ( x 3 − x ) ∣ 0 3 = \displaystyle\int_0^3 \left(f(x) - e^{2x}\right)dx = \int_0^3 \left(3x^2 - 1\right)dx = \left.\left(x^3 - x\right)\right|_0^3 = ∫ 0 3 ( f ( x ) − e 2 x ) d x = ∫ 0 3 ( 3 x 2 − 1 ) d x = ( x 3 − x ) 0 3 = 3p = 24 − 0 = 24 = 24 - 0 = 24 = 24 − 0 = 24 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = e 2 + 1 \displaystyle\int_0^1 4x\left(f(x) - 3x^2 + 1\right)dx = e^2 + 1 ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = e 2 + 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = ∫ 0 1 2 x ( e 2 x ) ′ d x = 2 x e 2 x ∣ 0 1 − e 2 x ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1 4x\left(f(x) - 3x^2 + 1\right)dx = \int_0^1 2x\left(e^{2x}\right)'dx = \left.2xe^{2x}\right|_0^1 - \left.e^{2x}\right|_0^1 = ∫ 0 1 4 x ( f ( x ) − 3 x 2 + 1 ) d x = ∫ 0 1 2 x ( e 2 x ) ′ d x = 2 x e 2 x 0 1 − e 2 x 0 1 = 3p = 2 e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1 = 2e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1 = 2 e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1 2p
c) · 5p
Demonstrați că lim x → 0 1 x 2 ∫ 0 x f ( t ) t + 1 d t = 1 \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}\displaystyle\int_0^x \dfrac{f(t)}{t + 1}\,dt = 1 x → 0 lim x 2 1 ∫ 0 x t + 1 f ( t ) d t = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → 0 1 x 2 ∫ 0 x f ( t ) t + 1 d t = lim x → 0 ( ∫ 0 x f ( t ) t + 1 d t ) ′ ( x 2 ) ′ = lim x → 0 f ( x ) 2 x ( x + 1 ) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}\displaystyle\int_0^x \dfrac{f(t)}{t + 1}\,dt = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(\displaystyle\int_0^x \dfrac{f(t)}{t + 1}\,dt\right)'}{\left(x^2\right)'} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{2x(x + 1)} = x → 0 lim x 2 1 ∫ 0 x t + 1 f ( t ) d t = x → 0 lim ( x 2 ) ′ ( ∫ 0 x t + 1 f ( t ) d t ) ′ = x → 0 lim 2 x ( x + 1 ) f ( x ) = 3p = lim x → 0 f ′ ( x ) 4 x + 2 = lim x → 0 6 x + 2 e 2 x 4 x + 2 = 1 = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{4x + 2} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{6x + 2e^{2x}}{4x + 2} = 1 = x → 0 lim 4 x + 2 f ′ ( x ) = x → 0 lim 4 x + 2 6 x + 2 e 2 x = 1 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M1 Toate subiectele →