Sari la conținut

MateSim

Legi de compoziție și polinoame · Bac M1

Legi de compoziție și polinoame la bac mate M1 (Subiectul al II-lea, problema 2): ce se dă de obicei (legi de compoziție, polinoame, rădăcini, viète, grupuri și inele) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La bac la matematică M1, Subiectul al II-lea · Problema 2 este mereu despre legi de compoziție și polinoame. Cel mai des apar: legi de compoziție, polinoame, rădăcini, viète, grupuri și inele. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

108de cerințe oficiale pe MateSim

36de lucrări, 2018–2027

Problema 2Subiectul al II-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 108 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Legi de compoziție și polinoame: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M1 (mate-info) · Subiectul al II-lea, problema 2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x*y=2(x-1)(y-2)+2$ .

a) · 5p

Arătați că $3*4=10$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$3*4=2(3-1)(4-2)+2=$	3p
$=8+2=10$	2p

b) · 5p

Determinați numărul real $a$ pentru care $a*x=x$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$a*x=2(a-1)(x-2)+2$ , deci $2(a-1)(x-2)+2=x$	2p
$x(2a-3)-4a+6=0$ , pentru orice număr real $x$ , de unde obținem $a=\dfrac{3}{2}$	3p

c) · 5p

Determinați tripletele $(m,n,p)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n\le p$ , pentru care $m*(n*p)=26$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$np=2(n-1)(p-2)+2$ , $m(n*p)=4(m-1)(n-1)(p-2)+2$ , pentru orice numere naturale $m$ , $n$ și $p$	2p
$4(m-1)(n-1)(p-2)+2=26$ , deci $(m-1)(n-1)(p-2)=6$ și, cum $m$ , $n$ și $p$ sunt numere naturale nenule, cu $m\le n\le p$ , obținem tripletele $(2,2,8)$ , $(2,3,5)$ și $(2,4,4)$	3p

Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al II-lea, problema 2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \dfrac{2}{3}(x - 3)(y - 3) + 3$ .

a) · 5p

Arătați că $0 * 2 = 5$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$0 * 2 = \dfrac{2}{3}(0 - 3)(2 - 3) + 3 =$	3p
$= 2 + 3 = 5$	2p

b) · 5p

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * \dfrac{3x}{2} = 5x$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$x * \dfrac{3x}{2} = x^2 - 5x + 9$ , pentru orice număr real $x$	2p
$x^2 - 5x + 9 = 5x$ , de unde obținem $x = 1$ sau $x = 9$	3p

c) · 5p

Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * m * n = -1$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$m * m = \dfrac{2}{3}(m - 3)^2 + 3$ , $m * m * n = \dfrac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) + 3$ , pentru orice numere naturale $m$ și $n$	2p
$\dfrac{4}{9}(m - 3)^2(n - 3) + 3 = -1 \Leftrightarrow (m - 3)^2(n - 3) = -9$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem perechile $(0, 2)$ și $(6, 2)$	3p

Bacalaureat 2026 la matematică M1 (mate-info): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al II-lea, problema 2

Se consideră polinomul $f = X^3 + X^2 + aX + 8$ , unde $a$ este număr real.

a) · 5p

Arătați că $f(0) = 8$ , pentru orice număr real $a$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(0) = 0^3 + 0^2 + a \cdot 0 + 8 =$	3p
$= 0 + 0 + 0 + 8 = 8$ , pentru orice număr real $a$	2p

b) · 5p

Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(-2) = 4 - 2a$ , pentru orice număr real $a$	3p
$4 - 2a = 0$ , de unde obținem $a = 2$	2p

c) · 5p

Determinați numărul real $a$ pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului $f$ este egal cu $2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Pentru $\dfrac{x_2}{x_1} = 2$ , cum $x_1 + x_2 + x_3 = -1$ și $x_1 x_2 x_3 = -8$ , obținem $3x_1^3 + x_1^2 - 4 = 0$	3p
$(x_1 - 1)\left(3x_1^2 + 4x_1 + 4\right) = 0$ ; cum $f$ este polinom de gradul $3$ cu coeficienți reali și $x_2 = 2x_1$ , rezultă că $x_1$ este număr real, deci $x_1 = 1$ și $f(1) = 0$ , de unde obținem $a = -10$ , care convine	2p

Celelalte poziții Bac M1