Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Determinați termenul b 1 b_1 b 1 ( b n ) n ≥ 1 (b_n)_{n\ge 1} ( b n ) n ≥ 1 b 3 = 40 b_3=40 b 3 = 40 b 4 = 80 b_4=80 b 4 = 80
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte q = b 4 b 3 = 2 q=\dfrac{b_4}{b_3}=2 q = b 3 b 4 = 2 q q q 2p b 1 = b 3 q 2 b_1=\dfrac{b_3}{q^2} b 1 = q 2 b 3 b 1 = 40 4 = 10 b_1=\dfrac{40}{4}=10 b 1 = 4 40 = 10 3p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Determinați mulțimea numerelor reale m m m f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 − 2 x + m f(x)=x^2-2x+m f ( x ) = x 2 − 2 x + m O x Ox O x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 4 − 4 m > 0 4-4m>0 4 − 4 m > 0 3p m ∈ ( − ∞ , 1 ) m\in(-\infty,1) m ∈ ( − ∞ , 1 ) 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x + 2 ⋅ 3 x + 1 = 63 3^x+2\cdot 3^{x+1}=63 3 x + 2 ⋅ 3 x + 1 = 63
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 3 x + 6 ⋅ 3 x = 63 3^x+6\cdot 3^x=63 3 x + 6 ⋅ 3 x = 63 3 x = 9 3^x=9 3 x = 9 3p x = 2 x=2 x = 2 2p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n n n n 2 n^2 n 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 90 90 90 90 90 2p Cum 1 0 2 ≤ n 2 ≤ 3 1 2 10^2\le n^2\le 31^2 1 0 2 ≤ n 2 ≤ 3 1 2 22 22 22 p = 22 90 = 11 45 p=\dfrac{22}{90}=\dfrac{11}{45} p = 90 22 = 45 11 3p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 1 , 2 ) A(1,2) A ( 1 , 2 ) B ( 7 , 4 ) B(7,4) B ( 7 , 4 ) C C C A B → = 2 A C → \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC} A B = 2 A C D D D O D → = C B → \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB} O D = CB
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte C B → = 1 2 A B → \overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} CB = 2 1 A B A B → = 6 i ⃗ + 2 j ⃗ \overrightarrow{AB}=6\vec{i}+2\vec{j} A B = 6 i + 2 j 3p O D → = 3 i ⃗ + j ⃗ \overrightarrow{OD}=3\vec{i}+\vec{j} O D = 3 i + j D D D ( 3 , 1 ) (3,1) ( 3 , 1 ) 2p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul ascuțitunghic A B C ABC A BC A B = 10 AB=10 A B = 10 A D = 8 AD=8 A D = 8 D D D A C AC A C 4 2 4\sqrt{2} 4 2 A B C ABC A BC 56 56 56
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte D C = 8 DC=8 D C = 8 B D = 6 BD=6 B D = 6 3p B C = 14 BC=14 BC = 14 A Δ A B C = B C ⋅ A D 2 = 14 ⋅ 8 2 = 56 \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=\dfrac{14\cdot 8}{2}=56 A Δ A BC = 2 BC ⋅ A D = 2 14 ⋅ 8 = 56 2p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 1 − a 3 1 − 2 1 − 3 a ) A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix} A ( a ) = a 3 1 1 1 − 3 − a − 2 a { a x + y − a z = 1 3 x + y − 2 z = 1 x − 3 y + a z = − 3 \begin{cases} ax+y-az=1 \\ 3x+y-2z=1 \\ x-3y+az=-3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + y − a z = 1 3 x + y − 2 z = 1 x − 3 y + a z = − 3 a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 0 ) ) = − 2 \det\big(A(0)\big)=-2 det ( A ( 0 ) ) = − 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 0 ) = ( 0 1 0 3 1 − 2 1 − 3 0 ) ⇒ det ( A ( 0 ) ) = ∣ 0 1 0 3 1 − 2 1 − 3 0 ∣ = A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(0)\big)=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}= A ( 0 ) = 0 3 1 1 1 − 3 0 − 2 0 ⇒ det ( A ( 0 ) ) = 0 3 1 1 1 − 3 0 − 2 0 = 2p = 0 − 2 + 0 − 0 − 0 − 0 = − 2 =0-2+0-0-0-0=-2 = 0 − 2 + 0 − 0 − 0 − 0 = − 2 3p
b) · 5p
Determinați mulțimea numerelor reale a a a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det ( A ( a ) ) = ∣ a 1 − a 3 1 − 2 1 − 3 a ∣ = a 2 + a − 2 \det\big(A(a)\big)=\begin{vmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix}=a^2+a-2 det ( A ( a ) ) = a 3 1 1 1 − 3 − a − 2 a = a 2 + a − 2 a a a 2p det ( A ( a ) ) = 0 ⇔ a = − 2 \det\big(A(a)\big)=0\Leftrightarrow a=-2 det ( A ( a ) ) = 0 ⇔ a = − 2 a = 1 a=1 a = 1 a ∈ R ∖ { − 2 , 1 } a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1\} a ∈ R ∖ { − 2 , 1 } 3p
c) · 5p
Pentru a = 1 a=1 a = 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) ( x 1 , y 1 , z 1 ) ( x 2 , y 2 , z 2 ) (x_2,y_2,z_2) ( x 2 , y 2 , z 2 ) y 1 = x 2 y_1=x_2 y 1 = x 2 z 1 = y 2 z_1=y_2 z 1 = y 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Pentru a = 1 a=1 a = 1 ( α , α + 1 , 2 α ) (\alpha,\alpha+1,2\alpha) ( α , α + 1 , 2 α ) α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α ∈ R 2p α 1 + 1 = α 2 \alpha_1+1=\alpha_2 α 1 + 1 = α 2 2 α 1 = α 2 + 1 2\alpha_1=\alpha_2+1 2 α 1 = α 2 + 1 α 1 = 2 \alpha_1=2 α 1 = 2 α 2 = 3 \alpha_2=3 α 2 = 3 ( 2 , 3 , 4 ) (2,3,4) ( 2 , 3 , 4 ) ( 3 , 4 , 6 ) (3,4,6) ( 3 , 4 , 6 ) 3p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea M = ( 0 , + ∞ ) M=(0,+\infty) M = ( 0 , + ∞ ) x ∗ y = x y + 1 x y + x + y 2 − 2 x*y=\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}-2 x ∗ y = x y + x y 1 + 2 x + y − 2
a) · 5p
Arătați că 1 ∗ 4 = 3 1*4=3 1 ∗ 4 = 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 1 ∗ 4 = 1 ⋅ 4 + 1 1 ⋅ 4 + 1 + 4 2 − 2 = 1*4=\sqrt{1\cdot 4}+\dfrac{1}{\sqrt{1\cdot 4}}+\dfrac{1+4}{2}-2= 1 ∗ 4 = 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 4 1 + 2 1 + 4 − 2 = 3p = 2 + 1 2 + 5 2 − 2 = 3 =2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}-2=3 = 2 + 2 1 + 2 5 − 2 = 3 2p
b) · 5p
Determinați x ∈ M x\in M x ∈ M x ∗ x = 1 x*x=1 x ∗ x = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∗ x = 2 x 2 − 2 x + 1 x x*x=\dfrac{2x^2-2x+1}{x} x ∗ x = x 2 x 2 − 2 x + 1 x ∈ M x\in M x ∈ M 2p 2 x 2 − 2 x + 1 x = 1 \dfrac{2x^2-2x+1}{x}=1 x 2 x 2 − 2 x + 1 = 1 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 2x^2-3x+1=0 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 x = 1 2 x=\dfrac{1}{2} x = 2 1 x = 1 x=1 x = 1 3p
c) · 5p
Demonstrați că mulțimea [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) M M M ∗ * ∗
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∗ y = ( x y − 1 ) 2 x y + x + y 2 ≥ x + y 2 x*y=\dfrac{\left(\sqrt{xy}-1\right)^2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{x+y}{2} x ∗ y = x y ( x y − 1 ) 2 + 2 x + y ≥ 2 x + y x , y ∈ M x,y\in M x , y ∈ M 3p Pentru x , y ∈ [ 1 , + ∞ ) x,y\in[1,+\infty) x , y ∈ [ 1 , + ∞ ) x + y 2 ≥ 1 \dfrac{x+y}{2}\ge 1 2 x + y ≥ 1 x ∗ y ∈ [ 1 , + ∞ ) x*y\in[1,+\infty) x ∗ y ∈ [ 1 , + ∞ ) [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) M M M ∗ * ∗ 2p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x − 2 x + 2 + ln x + 2 x f(x)=\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}{x} f ( x ) = x + 2 2 x − 2 + ln x x + 2
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 4 ( x − 1 ) x ( x + 2 ) 2 f'(x)=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2} f ′ ( x ) = x ( x + 2 ) 2 4 ( x − 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 2 ( x + 2 ) − ( 2 x − 2 ) ( x + 2 ) 2 + x x + 2 ⋅ x − ( x + 2 ) x 2 = f'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2)^2}+\dfrac{x}{x+2}\cdot\dfrac{x-(x+2)}{x^2}= f ′ ( x ) = ( x + 2 ) 2 2 ( x + 2 ) − ( 2 x − 2 ) + x + 2 x ⋅ x 2 x − ( x + 2 ) = 3p = 6 ( x + 2 ) 2 − 2 x ( x + 2 ) = 4 ( x − 1 ) x ( x + 2 ) 2 =\dfrac{6}{(x+2)^2}-\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2} = ( x + 2 ) 2 6 − x ( x + 2 ) 2 = x ( x + 2 ) 2 4 ( x − 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ ( 2 x − 2 x + 2 + ln x + 2 x ) = 2 + 0 = 2 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2x-2}{x+2}+\ln\dfrac{x+2}{x}\right)=2+0=2 x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim ( x + 2 2 x − 2 + ln x x + 2 ) = 2 + 0 = 2 3p Dreapta de ecuație y = 2 y=2 y = 2 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2p
c) · 5p
Determinați numerele naturale n n n f ( x ) = n f(x)=n f ( x ) = n
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( 0 , 1 ] (0,1] ( 0 , 1 ] x ∈ [ 1 , + ∞ ) x\in[1,+\infty) x ∈ [ 1 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) 2p lim x → 0 f ( x ) = + ∞ \lim\limits_{x\to 0}f(x)=+\infty x → 0 lim f ( x ) = + ∞ f ( 1 ) = ln 3 f(1)=\ln 3 f ( 1 ) = ln 3 f f f 1 < ln 3 < 2 1<\ln 3<2 1 < ln 3 < 2 n = 0 n=0 n = 0 n = 1 n=1 n = 1 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 2 x 2 + 1 f(x)=\dfrac{x^2}{2x^2+1} f ( x ) = 2 x 2 + 1 x 2
a) · 5p
Arătați că ∫ − 1 2 ( 2 x 2 + 1 ) f ( x ) d x = 3 \displaystyle\int_{-1}^2\left(2x^2+1\right)f(x)\,dx=3 ∫ − 1 2 ( 2 x 2 + 1 ) f ( x ) d x = 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ − 1 2 ( 2 x 2 + 1 ) f ( x ) d x = ∫ − 1 2 x 2 d x = x 3 3 ∣ − 1 2 = \displaystyle\int_{-1}^2\left(2x^2+1\right)f(x)\,dx=\int_{-1}^2 x^2\,dx=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_{-1}^2= ∫ − 1 2 ( 2 x 2 + 1 ) f ( x ) d x = ∫ − 1 2 x 2 d x = 3 x 3 − 1 2 = 3p = 8 3 − ( − 1 3 ) = 3 =\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)=3 = 3 8 − ( − 3 1 ) = 3 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 2 f ( x ) d x = 1 \displaystyle\int_0^2\sqrt{f(x)}\,dx=1 ∫ 0 2 f ( x ) d x = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 2 f ( x ) d x = ∫ 0 2 x 2 x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 0 2 ( 2 x 2 + 1 ) ′ 2 2 x 2 + 1 d x = 1 2 2 x 2 + 1 ∣ 0 2 = \displaystyle\int_0^2\sqrt{f(x)}\,dx=\int_0^2\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2\dfrac{\left(2x^2+1\right)'}{2\sqrt{2x^2+1}}\,dx=\left.\dfrac{1}{2}\sqrt{2x^2+1}\right|_0^2= ∫ 0 2 f ( x ) d x = ∫ 0 2 2 x 2 + 1 x d x = 2 1 ∫ 0 2 2 2 x 2 + 1 ( 2 x 2 + 1 ) ′ d x = 2 1 2 x 2 + 1 0 2 = 3p = 3 2 − 1 2 = 1 =\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1 = 2 3 − 2 1 = 1 2p
c) · 5p
Pentru fiecare număr natural nenul n n n I n = ∫ 0 1 x n f ( e x ) d x I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}\,dx I n = ∫ 0 1 f ( e x ) x n d x ( n + 1 ) I n − I n + 1 = 2 ( n + 1 ) n + 2 + 1 e (n+1)I_n-I_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac{1}{e} ( n + 1 ) I n − I n + 1 = n + 2 2 ( n + 1 ) + e 1 n n n
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte I n = ∫ 0 1 x n ( 2 + e − x ) d x I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\left(2+e^{-x}\right)dx I n = ∫ 0 1 x n ( 2 + e − x ) d x ( n + 1 ) I n − I n + 1 = ∫ 0 1 ( ( n + 1 ) x n − x n + 1 ) ( 2 + e − x ) d x = (n+1)I_n-I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1\left((n+1)x^n-x^{n+1}\right)\left(2+e^{-x}\right)dx= ( n + 1 ) I n − I n + 1 = ∫ 0 1 ( ( n + 1 ) x n − x n + 1 ) ( 2 + e − x ) d x = 2p = 2 x n + 1 ∣ 0 1 − 2 x n + 2 n + 2 ∣ 0 1 + ∫ 0 1 ( x n + 1 e − x ) ′ d x = 2 − 2 n + 2 + x n + 1 e − x ∣ 0 1 = 2 ( n + 1 ) n + 2 + 1 e =\left.2x^{n+1}\right|_0^1-\left.\dfrac{2x^{n+2}}{n+2}\right|_0^1+\displaystyle\int_0^1\left(x^{n+1}e^{-x}\right)'dx=2-\dfrac{2}{n+2}+\left.x^{n+1}e^{-x}\right|_0^1=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac{1}{e} = 2 x n + 1 0 1 − n + 2 2 x n + 2 0 1 + ∫ 0 1 ( x n + 1 e − x ) ′ d x = 2 − n + 2 2 + x n + 1 e − x 0 1 = n + 2 2 ( n + 1 ) + e 1 n n n 3p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M1 Toate subiectele →