Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Se consideră numerele complexe z 1 = 4 + i z_1=4+i z 1 = 4 + i z 2 = 2 − 4 i z_2=2-4i z 2 = 2 − 4 i i ⋅ z 1 + z 2 = 1 i\cdot z_1+z_2=1 i ⋅ z 1 + z 2 = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte i ⋅ z 1 + z 2 = 4 i + i 2 + 2 − 4 i = i\cdot z_1+z_2=4i+i^2+2-4i= i ⋅ z 1 + z 2 = 4 i + i 2 + 2 − 4 i = 3p = − 1 + 2 = 1 =-1+2=1 = − 1 + 2 = 1 2p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 − 3 x + 5 f(x)=x^2-3x+5 f ( x ) = x 2 − 3 x + 5 a a a A ( a , 5 ) A(a,5) A ( a , 5 ) f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( a ) = 5 f(a)=5 f ( a ) = 5 a 2 − 3 a = 0 a^2-3a=0 a 2 − 3 a = 0 3p a = 0 a=0 a = 0 a = 3 a=3 a = 3 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 6 ( 7 x − 5 ) = log 6 ( x + 1 ) + 1 log x 6 \log_6(7x-5)=\log_6(x+1)+\dfrac{1}{\log_x 6} log 6 ( 7 x − 5 ) = log 6 ( x + 1 ) + log x 6 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte log 6 ( 7 x − 5 ) = log 6 ( x 2 + x ) \log_6(7x-5)=\log_6\left(x^2+x\right) log 6 ( 7 x − 5 ) = log 6 ( x 2 + x ) 7 x − 5 = x 2 + x 7x-5=x^2+x 7 x − 5 = x 2 + x x 2 − 6 x + 5 = 0 x^2-6x+5=0 x 2 − 6 x + 5 = 0 3p x = 1 x=1 x = 1 x = 5 x=5 x = 5 2p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui 9 9 9
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 90 90 90 90 90 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele 27 27 27 45 45 45 63 63 63 81 81 81 99 99 99 9 9 9 5 5 5 p = 5 90 = 1 18 p=\dfrac{5}{90}=\dfrac{1}{18} p = 90 5 = 18 1 3p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 2 , 0 ) A(2,0) A ( 2 , 0 ) B ( 2 , 4 ) B(2,4) B ( 2 , 4 ) C ( 5 , a ) C(5,a) C ( 5 , a ) a a a a a a O B OB OB A C AC A C
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte m O B = 2 m_{OB}=2 m OB = 2 2p m A C = a 3 m_{AC}=\dfrac{a}{3} m A C = 3 a m O B = m A C m_{OB}=m_{AC} m OB = m A C a = 6 a=6 a = 6 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A B = 6 AB=6 A B = 6 B C = 10 BC=10 BC = 10 cos B = 4 5 \cos B=\dfrac{4}{5} cos B = 5 4 A B C ABC A BC 18 18 18
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte sin B = 3 5 \sin B=\dfrac{3}{5} sin B = 5 3 3p A Δ A B C = A B ⋅ B C ⋅ sin B 2 = 1 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 3 5 = 18 \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot\dfrac{3}{5}=18 A Δ A BC = 2 A B ⋅ BC ⋅ sin B = 2 1 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 5 3 = 18 2p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricele I 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A = ( 0 0 1 − 1 0 0 0 − 1 0 ) A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} A = 0 − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 B ( x ) = ( 1 x 0 0 1 x − x 0 1 ) B(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ -x & 0 & 1 \end{pmatrix} B ( x ) = 1 0 − x x 1 0 0 x 1 x x x
a) · 5p
Arătați că det A = 1 \det A=1 det A = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det A = ∣ 0 0 1 − 1 0 0 0 − 1 0 ∣ = 0 ⋅ 0 ⋅ 0 + ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 ⋅ 0 − 0 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 − 0 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 = \det A=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}=0\cdot 0\cdot 0+(-1)\cdot(-1)\cdot 1+0\cdot 0\cdot 0-1\cdot 0\cdot 0-0\cdot(-1)\cdot 0-0\cdot(-1)\cdot 0= det A = 0 − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 = 0 ⋅ 0 ⋅ 0 + ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 ⋅ 0 − 0 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 − 0 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 = 3p = 0 + 1 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 =0+1+0-0-0-0=1 = 0 + 1 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 2p
b) · 5p
Arătați că A − B ( x ) ⋅ A = x I 3 A-B(x)\cdot A=xI_3 A − B ( x ) ⋅ A = x I 3 x x x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte B ( x ) ⋅ A = ( − x 0 1 − 1 − x 0 0 − 1 − x ) B(x)\cdot A=\begin{pmatrix} -x & 0 & 1 \\ -1 & -x & 0 \\ 0 & -1 & -x \end{pmatrix} B ( x ) ⋅ A = − x − 1 0 0 − x − 1 1 0 − x A − B ( x ) ⋅ A = ( x 0 0 0 x 0 0 0 x ) = A-B(x)\cdot A=\begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}= A − B ( x ) ⋅ A = x 0 0 0 x 0 0 0 x = 3p = x ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = x I 3 =x\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=xI_3 = x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = x I 3 x x x 2p
c) · 5p
Pentru fiecare număr real x x x C ( x ) C(x) C ( x ) A ⋅ C ( x ) = B ( x ) A\cdot C(x)=B(x) A ⋅ C ( x ) = B ( x ) C ( x ) − C ( y ) = ( y − x ) A C(x)-C(y)=(y-x)A C ( x ) − C ( y ) = ( y − x ) A x x x y y y
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A − 1 = ( 0 − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 ) A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} A − 1 = 0 0 1 − 1 0 0 0 − 1 0 C ( x ) = A − 1 ⋅ B ( x ) = ( 0 − 1 − x x 0 − 1 1 x 0 ) C(x)=A^{-1}\cdot B(x)=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -x \\ x & 0 & -1 \\ 1 & x & 0 \end{pmatrix} C ( x ) = A − 1 ⋅ B ( x ) = 0 x 1 − 1 0 x − x − 1 0 x x x 3p C ( x ) − C ( y ) = ( 0 0 − x + y x − y 0 0 0 x − y 0 ) = ( y − x ) A C(x)-C(y)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -x+y \\ x-y & 0 & 0 \\ 0 & x-y & 0 \end{pmatrix}=(y-x)A C ( x ) − C ( y ) = 0 x − y 0 0 0 x − y − x + y 0 0 = ( y − x ) A x x x y y y 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x 2 y + x y 2 + x + y x*y=x^2y+xy^2+x+y x ∗ y = x 2 y + x y 2 + x + y
a) · 5p
Arătați că 1 ∗ 3 = 16 1*3=16 1 ∗ 3 = 16
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 1 ∗ 3 = 1 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 3 2 + 1 + 3 = 1*3=1^2\cdot 3+1\cdot 3^2+1+3= 1 ∗ 3 = 1 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 3 2 + 1 + 3 = 3p = 3 + 9 + 4 = 16 =3+9+4=16 = 3 + 9 + 4 = 16 2p
b) · 5p
Determinați numerele reale nenule x x x x ∗ 2 x = 9 x x*\dfrac{2}{x}=9x x ∗ x 2 = 9 x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∗ 2 x = 3 x 2 + 6 x x*\dfrac{2}{x}=\dfrac{3x^2+6}{x} x ∗ x 2 = x 3 x 2 + 6 x x x 3p 3 x 2 + 6 x = 9 x \dfrac{3x^2+6}{x}=9x x 3 x 2 + 6 = 9 x x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 1 x=1 x = 1 2p
c) · 5p
Determinați perechile ( m , n ) (m,n) ( m , n ) m ≤ n m\le n m ≤ n m ∗ n = 1 m*n=1 m ∗ n = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte m ∗ n = ( m + n ) ( m n + 1 ) m*n=(m+n)(mn+1) m ∗ n = ( m + n ) ( mn + 1 ) m m m n n n 2p ( m + n ) ( m n + 1 ) = 1 (m+n)(mn+1)=1 ( m + n ) ( mn + 1 ) = 1 m m m n n n m ≤ n m\le n m ≤ n ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( − 2 , 1 ) (-2,1) ( − 2 , 1 ) 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ln x x 3 f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3} f ( x ) = x 3 ln x
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 1 − 3 ln x x 4 f'(x)=\dfrac{1-3\ln x}{x^4} f ′ ( x ) = x 4 1 − 3 ln x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 1 x ⋅ x 3 − 3 x 2 ln x x 6 = f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x^3-3x^2\ln x}{x^6}= f ′ ( x ) = x 6 x 1 ⋅ x 3 − 3 x 2 ln x = 3p = x 2 − 3 x 2 ln x x 6 = 1 − 3 ln x x 4 =\dfrac{x^2-3x^2\ln x}{x^6}=\dfrac{1-3\ln x}{x^4} = x 6 x 2 − 3 x 2 ln x = x 4 1 − 3 ln x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ ln x x 3 = lim x → + ∞ 1 x 3 x 2 = 0 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^3}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{3x^2}=0 x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x 3 ln x = x → + ∞ lim 3 x 2 x 1 = 0 3p Dreapta de ecuație y = 0 y=0 y = 0 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2p
c) · 5p
Determinați mulțimea numerelor reale m m m f ( x ) = m f(x)=m f ( x ) = m
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = e 3 f'(x)=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{e} f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = 3 e x ∈ ( 0 , e 3 ] x\in\left(0,\sqrt[3]{e}\right] x ∈ ( 0 , 3 e ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f ( 0 , e 3 ] \left(0,\sqrt[3]{e}\right] ( 0 , 3 e ] x ∈ [ e 3 , + ∞ ) x\in\left[\sqrt[3]{e},+\infty\right) x ∈ [ 3 e , + ∞ ) f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ e 3 , + ∞ ) \left[\sqrt[3]{e},+\infty\right) [ 3 e , + ∞ ) 2p lim x → 0 f ( x ) = − ∞ \lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty x → 0 lim f ( x ) = − ∞ f ( e 3 ) = 1 3 e f\left(\sqrt[3]{e}\right)=\dfrac{1}{3e} f ( 3 e ) = 3 e 1 f f f m m m f ( x ) = m f(x)=m f ( x ) = m ( − ∞ , 1 3 e ] \left(-\infty,\dfrac{1}{3e}\right] ( − ∞ , 3 e 1 ] 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = e x + x 2 − 1 f(x)=e^x+x^2-1 f ( x ) = e x + x 2 − 1
a) · 5p
Arătați că ∫ 1 4 ( f ( x ) − e x ) d x = 18 \displaystyle\int_1^4\left(f(x)-e^x\right)dx=18 ∫ 1 4 ( f ( x ) − e x ) d x = 18
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 4 ( f ( x ) − e x ) d x = ∫ 1 4 ( x 2 − 1 ) d x = ( x 3 3 − x ) ∣ 1 4 = \displaystyle\int_1^4\left(f(x)-e^x\right)dx=\int_1^4\left(x^2-1\right)dx=\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)\right|_1^4= ∫ 1 4 ( f ( x ) − e x ) d x = ∫ 1 4 ( x 2 − 1 ) d x = ( 3 x 3 − x ) 1 4 = 3p = 64 3 − 4 − ( 1 3 − 1 ) = 18 =\dfrac{64}{3}-4-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=18 = 3 64 − 4 − ( 3 1 − 1 ) = 18 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 1 2 e x f ( x ) − x 2 d x = ln ( e + 1 ) \displaystyle\int_1^2\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}\,dx=\ln(e+1) ∫ 1 2 f ( x ) − x 2 e x d x = ln ( e + 1 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 2 e x f ( x ) − x 2 d x = ∫ 1 2 e x e x − 1 d x = ∫ 1 2 ( e x − 1 ) ′ e x − 1 d x = ln ( e x − 1 ) ∣ 1 2 = \displaystyle\int_1^2\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}\,dx=\int_1^2\dfrac{e^x}{e^x-1}\,dx=\int_1^2\dfrac{\left(e^x-1\right)'}{e^x-1}\,dx=\left.\ln\left(e^x-1\right)\right|_1^2= ∫ 1 2 f ( x ) − x 2 e x d x = ∫ 1 2 e x − 1 e x d x = ∫ 1 2 e x − 1 ( e x − 1 ) ′ d x = ln ( e x − 1 ) ∣ 1 2 = 3p = ln ( e 2 − 1 ) − ln ( e − 1 ) = ln ( e + 1 ) =\ln\left(e^2-1\right)-\ln(e-1)=\ln(e+1) = ln ( e 2 − 1 ) − ln ( e − 1 ) = ln ( e + 1 ) 2p
c) · 5p
Demonstrați că ∫ 0 1 x f ( x ) + 1 d x ≤ 1 − 2 e \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{f(x)+1}\,dx\le 1-\dfrac{2}{e} ∫ 0 1 f ( x ) + 1 x d x ≤ 1 − e 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 x f ( x ) + 1 d x = ∫ 0 1 x e x + x 2 d x \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{f(x)+1}\,dx=\int_0^1\dfrac{x}{e^x+x^2}\,dx ∫ 0 1 f ( x ) + 1 x d x = ∫ 0 1 e x + x 2 x d x e x + x 2 ≥ e x e^x+x^2\ge e^x e x + x 2 ≥ e x x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x ∈ [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 x f ( x ) + 1 d x ≤ ∫ 0 1 x e − x d x \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{f(x)+1}\,dx\le\int_0^1 xe^{-x}\,dx ∫ 0 1 f ( x ) + 1 x d x ≤ ∫ 0 1 x e − x d x 3p ∫ 0 1 x e − x d x = ∫ 0 1 x ( − e − x ) ′ d x = − e − x ( x + 1 ) ∣ 0 1 = 1 − 2 e \displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx=\int_0^1 x\left(-e^{-x}\right)'dx=\left.-e^{-x}(x+1)\right|_0^1=1-\dfrac{2}{e} ∫ 0 1 x e − x d x = ∫ 0 1 x ( − e − x ) ′ d x = − e − x ( x + 1 ) 0 1 = 1 − e 2 ∫ 0 1 x f ( x ) + 1 d x ≤ 1 − 2 e \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{f(x)+1}\,dx\le 1-\dfrac{2}{e} ∫ 0 1 f ( x ) + 1 x d x ≤ 1 − e 2 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M1 Toate subiectele →