Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Determinați termenul a 1 a_1 a 1 ( a n ) n ≥ 1 (a_n)_{n\ge 1} ( a n ) n ≥ 1 a 3 = 19 a_3=19 a 3 = 19 a 4 = 25 a_4=25 a 4 = 25
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Rația progresiei este r = a 4 − a 3 = 6 r=a_4-a_3=6 r = a 4 − a 3 = 6 3p a 1 = a 3 − 2 r = 7 a_1=a_3-2r=7 a 1 = a 3 − 2 r = 7 2p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x + a f(x)=2x+a f ( x ) = 2 x + a a a a a a a f ( 2 ) = 8 f(2)=8 f ( 2 ) = 8
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 2 ) = 4 + a f(2)=4+a f ( 2 ) = 4 + a 2p 4 + a = 8 4+a=8 4 + a = 8 a = 4 a=4 a = 4 3p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 2 − x − 1 625 ⋅ 2 5 x = 0 5^{2-x}-\dfrac{1}{625}\cdot 25^x=0 5 2 − x − 625 1 ⋅ 2 5 x = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 5 2 − x − 5 − 4 ⋅ 5 2 x = 0 5^{2-x}-5^{-4}\cdot 5^{2x}=0 5 2 − x − 5 − 4 ⋅ 5 2 x = 0 5 2 − x = 5 2 x − 4 5^{2-x}=5^{2x-4} 5 2 − x = 5 2 x − 4 2 − x = 2 x − 4 2-x=2x-4 2 − x = 2 x − 4 3p x = 2 x=2 x = 2 2p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A=\{1,2,3,4,5,6\} A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte C 6 2 = 6 ! 2 ! ⋅ 4 ! = C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}= C 6 2 = 2 ! ⋅ 4 ! 6 ! = 3p = 15 =15 = 15 2p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 2 , 2 ) A(2,2) A ( 2 , 2 ) B ( 2 , 0 ) B(2,0) B ( 2 , 0 ) C ( 8 , 2 ) C(8,2) C ( 8 , 2 ) D E DE D E D D D E E E O A OA O A B C BC BC
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte D ( 1 , 1 ) D(1,1) D ( 1 , 1 ) E ( 5 , 1 ) E(5,1) E ( 5 , 1 ) 2p D E = 4 DE=4 D E = 4 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 6 AB=6 A B = 6 B = π 6 B=\dfrac{\pi}{6} B = 6 π A B C ABC A BC 2 3 2\sqrt{3} 2 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte cos B = A B B C \cos B=\dfrac{AB}{BC} cos B = BC A B 3 2 = 6 B C \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6}{BC} 2 3 = BC 6 B C = 4 3 BC=4\sqrt{3} BC = 4 3 3p R = B C 2 R=\dfrac{BC}{2} R = 2 BC R R R A B C ABC A BC R = 2 3 R=2\sqrt{3} R = 2 3 2p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 0 − 1 2 4 ) A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} A = ( 0 2 − 1 4 ) M ( a ) = ( a 1 2 − 2 a 2 − a ) M(a)=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 2-2a & 2-a \end{pmatrix} M ( a ) = ( a 2 − 2 a 1 2 − a ) a a a
a) · 5p
Arătați că det A = 2 \det A=2 det A = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det A = ∣ 0 − 1 2 4 ∣ = 0 ⋅ 4 − ( − 1 ) ⋅ 2 = \det A=\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}=0\cdot 4-(-1)\cdot 2= det A = 0 2 − 1 4 = 0 ⋅ 4 − ( − 1 ) ⋅ 2 = 3p = 0 + 2 = 2 =0+2=2 = 0 + 2 = 2 2p
b) · 5p
Determinați numărul real x x x M ( 2 ) ⋅ A = x M ( 1 ) M(2)\cdot A=xM(1) M ( 2 ) ⋅ A = x M ( 1 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M ( 2 ) = ( 2 1 − 2 0 ) M(2)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} M ( 2 ) = ( 2 − 2 1 0 ) M ( 2 ) ⋅ A = ( 2 2 0 2 ) = 2 ( 1 1 0 1 ) = 2 M ( 1 ) M(2)\cdot A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=2M(1) M ( 2 ) ⋅ A = ( 2 0 2 2 ) = 2 ( 1 0 1 1 ) = 2 M ( 1 ) 3p 2 M ( 1 ) = x M ( 1 ) 2M(1)=xM(1) 2 M ( 1 ) = x M ( 1 ) x = 2 x=2 x = 2 2p
c) · 5p
Determinați numerele reale a a a ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a + 2 ) I 2 \big(M(a)-2I_2\big)\cdot M(a)=(a+2)I_2 ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a + 2 ) I 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M ( a ) − 2 I 2 = ( a − 2 1 2 − 2 a − a ) M(a)-2I_2=\begin{pmatrix} a-2 & 1 \\ 2-2a & -a \end{pmatrix} M ( a ) − 2 I 2 = ( a − 2 2 − 2 a 1 − a ) ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) \big(M(a)-2I_2\big)\cdot M(a)=\begin{pmatrix} a^2-4a+2 & 0 \\ 0 & a^2-4a+2 \end{pmatrix} ( M ( a ) − 2 I 2 ) ⋅ M ( a ) = ( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) a a a 3p ( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) = ( a + 2 0 0 a + 2 ) \begin{pmatrix} a^2-4a+2 & 0 \\ 0 & a^2-4a+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+2 & 0 \\ 0 & a+2 \end{pmatrix} ( a 2 − 4 a + 2 0 0 a 2 − 4 a + 2 ) = ( a + 2 0 0 a + 2 ) a = 0 a=0 a = 0 a = 5 a=5 a = 5 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = ( x − 6 ) ( y − 6 ) + 6 x\circ y=(x-6)(y-6)+6 x ∘ y = ( x − 6 ) ( y − 6 ) + 6
a) · 5p
Arătați că 9 ∘ 8 = 12 9\circ 8=12 9 ∘ 8 = 12
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 9 ∘ 8 = ( 9 − 6 ) ( 8 − 6 ) + 6 = 9\circ 8=(9-6)(8-6)+6= 9 ∘ 8 = ( 9 − 6 ) ( 8 − 6 ) + 6 = 3p = 6 + 6 = 12 =6+6=12 = 6 + 6 = 12 2p
b) · 5p
Arătați că e = 7 e=7 e = 7 ∘ \circ ∘
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∘ 7 = ( x − 6 ) ( 7 − 6 ) + 6 = x − 6 + 6 = x x\circ 7=(x-6)(7-6)+6=x-6+6=x x ∘ 7 = ( x − 6 ) ( 7 − 6 ) + 6 = x − 6 + 6 = x x x x 2p 7 ∘ x = ( 7 − 6 ) ( x − 6 ) + 6 = x − 6 + 6 = x 7\circ x=(7-6)(x-6)+6=x-6+6=x 7 ∘ x = ( 7 − 6 ) ( x − 6 ) + 6 = x − 6 + 6 = x x x x e = 7 e=7 e = 7 ∘ \circ ∘ 3p
c) · 5p
Determinați numerele reale nenule x x x x ∘ 6 x = 6 x x\circ\dfrac{6}{x}=6x x ∘ x 6 = 6 x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∘ 6 x = 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) x + 6 x\circ\dfrac{6}{x}=\dfrac{6(x-6)(1-x)}{x}+6 x ∘ x 6 = x 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) + 6 x x x 2p 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) x + 6 = 6 x ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 \dfrac{6(x-6)(1-x)}{x}+6=6x\Leftrightarrow x^2-4x+3=0 x 6 ( x − 6 ) ( 1 − x ) + 6 = 6 x ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 x = 1 x=1 x = 1 x = 3 x=3 x = 3 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x f(x)=\left(x^2-5\right)\sqrt{x} f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x f'(x)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}} f ′ ( x ) = 2 x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 2 x x + ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 2 x = f'(x)=2x\sqrt{x}+\left(x^2-5\right)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}= f ′ ( x ) = 2 x x + ( x 2 − 5 ) ⋅ 2 x 1 = 3p = 5 x 2 − 5 2 x = 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x =\dfrac{5x^2-5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}} = 2 x 5 x 2 − 5 = 2 x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Arătați că lim x → + ∞ f ′ ( x ) x x = 5 2 \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\dfrac{5}{2} x → + ∞ lim x x f ′ ( x ) = 2 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ f ′ ( x ) x x = lim x → + ∞ 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x 2 = lim x → + ∞ 5 x 2 ( 1 − 1 x ) ( 1 + 1 x ) 2 x 2 = \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2x^2}= x → + ∞ lim x x f ′ ( x ) = x → + ∞ lim 2 x 2 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x → + ∞ lim 2 x 2 5 x 2 ( 1 − x 1 ) ( 1 + x 1 ) = 3p = lim x → + ∞ 5 ( 1 − 1 x ) ( 1 + 1 x ) 2 = 5 2 =\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2}=\dfrac{5}{2} = x → + ∞ lim 2 5 ( 1 − x 1 ) ( 1 + x 1 ) = 2 5 2p
c) · 5p
Arătați că f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 f(x+2)-f(x)\le 26 f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 x ∈ ( 0 , 2 ] x\in(0,2] x ∈ ( 0 , 2 ]
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = 1 f'(x)=0\Rightarrow x=1 f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = 1 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( 0 , 1 ] (0,1] ( 0 , 1 ] x ∈ [ 1 , + ∞ ) x\in[1,+\infty) x ∈ [ 1 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) 2p x ∈ ( 0 , 2 ] ⇒ x + 2 ∈ ( 2 , 4 ] x\in(0,2]\Rightarrow x+2\in(2,4] x ∈ ( 0 , 2 ] ⇒ x + 2 ∈ ( 2 , 4 ] f ( x ) ≥ f ( 1 ) f(x)\ge f(1) f ( x ) ≥ f ( 1 ) f ( x + 2 ) ≤ f ( 4 ) f(x+2)\le f(4) f ( x + 2 ) ≤ f ( 4 ) f ( 1 ) = − 4 f(1)=-4 f ( 1 ) = − 4 f ( 4 ) = 22 f(4)=22 f ( 4 ) = 22 f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 f(x+2)-f(x)\le 26 f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 x ∈ ( 0 , 2 ] x\in(0,2] x ∈ ( 0 , 2 ] 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 + 4 ln x f(x)=x^2+4\ln x f ( x ) = x 2 + 4 ln x
a) · 5p
Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = 7 3 \displaystyle\int_1^2\big(f(x)-4\ln x\big)\,dx=\dfrac{7}{3} ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = 3 7
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = ∫ 1 2 x 2 d x = x 3 3 ∣ 1 2 = \displaystyle\int_1^2\big(f(x)-4\ln x\big)\,dx=\int_1^2 x^2\,dx=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_1^2= ∫ 1 2 ( f ( x ) − 4 ln x ) d x = ∫ 1 2 x 2 d x = 3 x 3 1 2 = 3p = 8 3 − 1 3 = 7 3 =\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3} = 3 8 − 3 1 = 3 7 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 1 e f ( x ) − x 2 x d x = 2 \displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)-x^2}{x}\,dx=2 ∫ 1 e x f ( x ) − x 2 d x = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 e f ( x ) − x 2 x d x = ∫ 1 e 4 ln x x d x = 4 ∫ 1 e ln x ( ln x ) ′ d x = 2 ln 2 x ∣ 1 e = \displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)-x^2}{x}\,dx=\int_1^e\dfrac{4\ln x}{x}\,dx=4\int_1^e\ln x(\ln x)'\,dx=\left.2\ln^2 x\right|_1^e= ∫ 1 e x f ( x ) − x 2 d x = ∫ 1 e x 4 ln x d x = 4 ∫ 1 e ln x ( ln x ) ′ d x = 2 ln 2 x 1 e = 3p = 2 ln 2 e − 2 ln 2 1 = 2 =2\ln^2 e-2\ln^2 1=2 = 2 ln 2 e − 2 ln 2 1 = 2 2p
c) · 5p
Determinați numărul real m m m ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) \displaystyle\int_1^2\left(f(x)f''(x)+\big(f'(x)\big)^2\right)dx=m\big(f(2)-f(1)\big) ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ) )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ( x ) ) ′ d x = ( f ( x ) f ′ ( x ) ) ∣ 1 2 = f ( 2 ) f ′ ( 2 ) − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) \displaystyle\int_1^2\left(f(x)f''(x)+\big(f'(x)\big)^2\right)dx=\int_1^2\big(f(x)f'(x)\big)'dx=\left.\big(f(x)f'(x)\big)\right|_1^2=f(2)f'(2)-f(1)f'(1) ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′′ ( x ) + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = ∫ 1 2 ( f ( x ) f ′ ( x ) ) ′ d x = ( f ( x ) f ′ ( x ) ) 1 2 = f ( 2 ) f ′ ( 2 ) − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) 3p f ′ ( x ) = 2 x + 4 x f'(x)=2x+\dfrac{4}{x} f ′ ( x ) = 2 x + x 4 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) f ′ ( 1 ) = f ′ ( 2 ) = 6 f'(1)=f'(2)=6 f ′ ( 1 ) = f ′ ( 2 ) = 6 6 ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) 6\big(f(2)-f(1)\big)=m\big(f(2)-f(1)\big) 6 ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) = m ( f ( 2 ) − f ( 1 ) ) f ( 1 ) ≠ f ( 2 ) f(1)\ne f(2) f ( 1 ) = f ( 2 ) m = 6 m=6 m = 6 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M2 Toate subiectele →