Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Determinați termenul a 4 a_4 a 4 ( a n ) n ≥ 1 (a_n)_{n\ge 1} ( a n ) n ≥ 1 a 1 = 2 a_1=2 a 1 = 2 a 3 = 14 a_3=14 a 3 = 14
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 r = a 3 − a 1 2r=a_3-a_1 2 r = a 3 − a 1 r = 6 r=6 r = 6 r r r 3p a 4 = a 3 + r a_4=a_3+r a 4 = a 3 + r a 4 = 14 + 6 = 20 a_4=14+6=20 a 4 = 14 + 6 = 20 2p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = a x + 3 f(x)=ax+3 f ( x ) = a x + 3 a a a a a a f ( 0 ) + ( f ∘ f ) ( 0 ) = 0 f(0)+(f\circ f)(0)=0 f ( 0 ) + ( f ∘ f ) ( 0 ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 0 ) = 3 f(0)=3 f ( 0 ) = 3 ( f ∘ f ) ( 0 ) = f ( 3 ) = 3 a + 3 (f\circ f)(0)=f(3)=3a+3 ( f ∘ f ) ( 0 ) = f ( 3 ) = 3 a + 3 a a a 3p 3 + 3 a + 3 = 0 3+3a+3=0 3 + 3 a + 3 = 0 a = − 2 a=-2 a = − 2 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 x − 4 ⋅ 5 x − 2 = 105 5^x-4\cdot 5^{x-2}=105 5 x − 4 ⋅ 5 x − 2 = 105
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 5 x − 2 ⋅ 21 = 105 5^{x-2}\cdot 21=105 5 x − 2 ⋅ 21 = 105 5 x − 2 = 5 5^{x-2}=5 5 x − 2 = 5 3p x − 2 = 1 x-2=1 x − 2 = 1 x = 3 x=3 x = 3 2p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A = { 1 , 2 , 3 , 9 } A=\{1,2,3,9\} A = { 1 , 2 , 3 , 9 }
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Cifra unităților se poate alege în 3 3 3 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 3 3 2 2 2 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18 3\cdot 3\cdot 2=18 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18 3p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 1 , 0 ) A(1,0) A ( 1 , 0 ) B ( 5 , 4 ) B(5,4) B ( 5 , 4 ) d d d 2 x + a y = 0 2x+ay=0 2 x + a y = 0 a a a a a a A B AB A B d d d
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M ( 3 , 2 ) M(3,2) M ( 3 , 2 ) A B AB A B 3p 2 ⋅ 3 + a ⋅ 2 = 0 2\cdot 3+a\cdot 2=0 2 ⋅ 3 + a ⋅ 2 = 0 a = − 3 a=-3 a = − 3 2p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A B C = 12 BC=12 BC = 12 C = π 6 C=\dfrac{\pi}{6} C = 6 π M M M A C AC A C 3 A M = A C 3AM=AC 3 A M = A C B M = 4 3 BM=4\sqrt{3} BM = 4 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A B = 6 AB=6 A B = 6 A C = 6 3 AC=6\sqrt{3} A C = 6 3 2p A M = 2 3 AM=2\sqrt{3} A M = 2 3 B M 2 = A M 2 + A B 2 = 48 BM^2=AM^2+AB^2=48 B M 2 = A M 2 + A B 2 = 48 B M = 4 3 BM=4\sqrt{3} BM = 4 3 3p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − a 1 − a ) A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ -a & 1-a \end{pmatrix} A ( a ) = ( 1 − a a 1 − a ) a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 1 \det\big(A(1)\big)=1 det ( A ( 1 ) ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 1 ) = ( 1 1 − 1 0 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ 1 1 − 1 0 ∣ = 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ ( − 1 ) = A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot(-1)= A ( 1 ) = ( 1 − 1 1 0 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = 1 − 1 1 0 = 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ ( − 1 ) = 3p = 0 + 1 = 1 =0+1=1 = 0 + 1 = 1 2p
b) · 5p
Arătați că A ( a + b ) − A ( a ) ⋅ A ( b ) = a b A ( 1 ) A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=abA(1) A ( a + b ) − A ( a ) ⋅ A ( b ) = ab A ( 1 ) a a a b b b
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( a + b ) − A ( a ) ⋅ A ( b ) = ( 1 a + b − a − b 1 − a − b ) − ( 1 − a b b + a − a b − a − b + a b − a b + 1 − a − b + a b ) = A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix} 1 & a+b \\ -a-b & 1-a-b \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1-ab & b+a-ab \\ -a-b+ab & -ab+1-a-b+ab \end{pmatrix}= A ( a + b ) − A ( a ) ⋅ A ( b ) = ( 1 − a − b a + b 1 − a − b ) − ( 1 − ab − a − b + ab b + a − ab − ab + 1 − a − b + ab ) = 3p = ( a b a b − a b 0 ) = a b A ( 1 ) =\begin{pmatrix} ab & ab \\ -ab & 0 \end{pmatrix}=abA(1) = ( ab − ab ab 0 ) = ab A ( 1 ) a a a b b b 2p
c) · 5p
Determinați numerele reale a a a 2 A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = 2 A ( 1 ) 2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=2A(1) 2 A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = 2 A ( 1 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) = a 2 A ( 1 ) A(2a)-A(a)\cdot A(a)=a^2A(1) A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) = a 2 A ( 1 ) A ( 2 a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = ( 2 a − 1 ) A ( 1 ) A(2a)-A(1)\cdot A(2a-1)=(2a-1)A(1) A ( 2 a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = ( 2 a − 1 ) A ( 1 ) 2 A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = ( a 2 + 2 a − 1 ) A ( 1 ) 2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=\left(a^2+2a-1\right)A(1) 2 A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = ( a 2 + 2 a − 1 ) A ( 1 ) a a a 2p ( a 2 + 2 a − 1 ) A ( 1 ) = 2 A ( 1 ) \left(a^2+2a-1\right)A(1)=2A(1) ( a 2 + 2 a − 1 ) A ( 1 ) = 2 A ( 1 ) a 2 + 2 a − 1 = 2 a^2+2a-1=2 a 2 + 2 a − 1 = 2 a = − 3 a=-3 a = − 3 a = 1 a=1 a = 1 3p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∘ y = 1 6 ( x − 5 ) ( y − 5 ) + 5 x\circ y=\dfrac{1}{6}(x-5)(y-5)+5 x ∘ y = 6 1 ( x − 5 ) ( y − 5 ) + 5 e = 11 e=11 e = 11
a) · 5p
Arătați că 7 ∘ 8 = 6 7\circ 8=6 7 ∘ 8 = 6
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 7 ∘ 8 = 1 6 ( 7 − 5 ) ( 8 − 5 ) + 5 = 7\circ 8=\dfrac{1}{6}(7-5)(8-5)+5= 7 ∘ 8 = 6 1 ( 7 − 5 ) ( 8 − 5 ) + 5 = 3p = 1 + 5 = 6 =1+5=6 = 1 + 5 = 6 2p
b) · 5p
Determinați numerele reale x x x x ∘ ( 6 x − 1 ) = 10 x\circ(6x-1)=10 x ∘ ( 6 x − 1 ) = 10
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∘ ( 6 x − 1 ) = x 2 − 6 x + 10 x\circ(6x-1)=x^2-6x+10 x ∘ ( 6 x − 1 ) = x 2 − 6 x + 10 x x x 3p x 2 − 6 x + 10 = 10 x^2-6x+10=10 x 2 − 6 x + 10 = 10 x = 0 x=0 x = 0 x = 6 x=6 x = 6 2p
c) · 5p
Determinați numerele naturale n n n n ≠ 5 n\ne 5 n = 5 ∘ \circ ∘
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte n ∘ n ′ = n ′ ∘ n = 11 n\circ n'=n'\circ n=11 n ∘ n ′ = n ′ ∘ n = 11 n ′ n' n ′ n n n ( n − 5 ) ( n ′ − 5 ) = 36 (n-5)(n'-5)=36 ( n − 5 ) ( n ′ − 5 ) = 36 2p Cum n n n n ′ n' n ′ n ≠ 5 n\ne 5 n = 5 n ′ n' n ′ n = 9 n=9 n = 9 n = 17 n=17 n = 17 n = 41 n=41 n = 41 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 1 x − 1 + 4 ln ( x + 3 ) f(x)=\dfrac{1}{x}-1+4\ln(x+3) f ( x ) = x 1 − 1 + 4 ln ( x + 3 )
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = ( x − 1 ) ( 4 x + 3 ) x 2 ( x + 3 ) f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)} f ′ ( x ) = x 2 ( x + 3 ) ( x − 1 ) ( 4 x + 3 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = − 1 x 2 + 4 x + 3 = f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}+\dfrac{4}{x+3}= f ′ ( x ) = x 2 − 1 + x + 3 4 = 3p = 4 x 2 − x − 3 x 2 ( x + 3 ) = ( x − 1 ) ( 4 x + 3 ) x 2 ( x + 3 ) =\dfrac{4x^2-x-3}{x^2(x+3)}=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)} = x 2 ( x + 3 ) 4 x 2 − x − 3 = x 2 ( x + 3 ) ( x − 1 ) ( 4 x + 3 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Arătați că lim x → 1 4 ln ( x + 3 ) − f ( x ) ln x = 1 \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=1 x → 1 lim ln x 4 ln ( x + 3 ) − f ( x ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → 1 4 ln ( x + 3 ) − f ( x ) ln x = lim x → 1 − 1 x + 1 ln x = lim x → 1 ( − 1 x + 1 ) ′ ( ln x ) ′ = \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-\frac{1}{x}+1}{\ln x}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\left(-\frac{1}{x}+1\right)'}{(\ln x)'}= x → 1 lim ln x 4 ln ( x + 3 ) − f ( x ) = x → 1 lim ln x − x 1 + 1 = x → 1 lim ( ln x ) ′ ( − x 1 + 1 ) ′ = 3p = lim x → 1 1 x 2 1 x = 1 =\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}}=1 = x → 1 lim x 1 x 2 1 = 1 2p
c) · 5p
Demonstrați că 1 x 2 − 1 x ≥ 4 ln x + 3 x 2 + 3 \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}\ge 4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3} x 2 1 − x 1 ≥ 4 ln x 2 + 3 x + 3 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ]
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( 0 , 1 ] (0,1] ( 0 , 1 ] 2p Cum x ∈ ( 0 , 1 ] ⇒ x ≥ x 2 x\in(0,1]\Rightarrow x\ge x^2 x ∈ ( 0 , 1 ] ⇒ x ≥ x 2 f ( x ) ≤ f ( x 2 ) f(x)\le f\left(x^2\right) f ( x ) ≤ f ( x 2 ) 1 x 2 − 1 x ≥ 4 ln x + 3 x 2 + 3 \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}\ge 4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3} x 2 1 − x 1 ≥ 4 ln x 2 + 3 x + 3 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ] 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = ( x 2 + 4 x ) e − x f(x)=\left(x^2+4x\right)e^{-x} f ( x ) = ( x 2 + 4 x ) e − x
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 3 f ( x ) e x d x = 27 \displaystyle\int_0^3 f(x)e^x\,dx=27 ∫ 0 3 f ( x ) e x d x = 27
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 3 f ( x ) e x d x = ∫ 0 3 ( x 2 + 4 x ) d x = ( x 3 3 + 2 x 2 ) ∣ 0 3 = \displaystyle\int_0^3 f(x)e^x\,dx=\int_0^3\left(x^2+4x\right)dx=\left.\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|_0^3= ∫ 0 3 f ( x ) e x d x = ∫ 0 3 ( x 2 + 4 x ) d x = ( 3 x 3 + 2 x 2 ) 0 3 = 3p = 9 + 18 = 27 =9+18=27 = 9 + 18 = 27 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ − 1 0 f ( x ) x + 4 d x = − 1 \displaystyle\int_{-1}^0\dfrac{f(x)}{x+4}\,dx=-1 ∫ − 1 0 x + 4 f ( x ) d x = − 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ − 1 0 f ( x ) x + 4 d x = ∫ − 1 0 x e − x d x = ∫ − 1 0 x ( − e − x ) ′ d x = − x e − x ∣ − 1 0 − e − x ∣ − 1 0 = \displaystyle\int_{-1}^0\dfrac{f(x)}{x+4}\,dx=\int_{-1}^0 xe^{-x}\,dx=\int_{-1}^0 x\left(-e^{-x}\right)'dx=\left.-xe^{-x}\right|_{-1}^0-\left.e^{-x}\right|_{-1}^0= ∫ − 1 0 x + 4 f ( x ) d x = ∫ − 1 0 x e − x d x = ∫ − 1 0 x ( − e − x ) ′ d x = − x e − x − 1 0 − e − x − 1 0 = 3p = − e − 1 + e = − 1 =-e-1+e=-1 = − e − 1 + e = − 1 2p
c) · 5p
Se consideră funcția g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb{R} g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( x 2 ) x 2 g(x)=\dfrac{f\left(x^2\right)}{x^2} g ( x ) = x 2 f ( x 2 ) G : ( 0 , + ∞ ) → R G:(0,+\infty)\to\mathbb{R} G : ( 0 , + ∞ ) → R g g g
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte G ′ ( x ) = g ( x ) = ( x 2 + 4 ) e − x 2 G'(x)=g(x)=\left(x^2+4\right)e^{-x^2} G ′ ( x ) = g ( x ) = ( x 2 + 4 ) e − x 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) G ′ ′ ( x ) = ( x 2 + 4 ) ′ e − x 2 + ( x 2 + 4 ) ( e − x 2 ) ′ = G''(x)=\left(x^2+4\right)'e^{-x^2}+\left(x^2+4\right)\left(e^{-x^2}\right)'= G ′′ ( x ) = ( x 2 + 4 ) ′ e − x 2 + ( x 2 + 4 ) ( e − x 2 ) ′ = 3p = 2 x e − x 2 + ( x 2 + 4 ) ( − 2 x ) e − x 2 = − 2 x ( x 2 + 3 ) e − x 2 ≤ 0 =2xe^{-x^2}+\left(x^2+4\right)(-2x)e^{-x^2}=-2x\left(x^2+3\right)e^{-x^2}\le 0 = 2 x e − x 2 + ( x 2 + 4 ) ( − 2 x ) e − x 2 = − 2 x ( x 2 + 3 ) e − x 2 ≤ 0 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) G G G 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M2 Toate subiectele →