Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Arătați că ( 4 , 9 − 3 , 4 ) : 3 + 2 , 5 = 3 (4{,}9-3{,}4):3+2{,}5=3 ( 4 , 9 − 3 , 4 ) : 3 + 2 , 5 = 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ( 4 , 9 − 3 , 4 ) : 3 + 2 , 5 = 1 , 5 : 3 + 2 , 5 = (4{,}9-3{,}4):3+2{,}5=1{,}5:3+2{,}5= ( 4 , 9 − 3 , 4 ) : 3 + 2 , 5 = 1 , 5 : 3 + 2 , 5 = 2p = 0 , 5 + 2 , 5 = 3 =0{,}5+2{,}5=3 = 0 , 5 + 2 , 5 = 3 3p
Exerciții de același tip: Numere și progresii → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x − 21 f(x)=2x-21 f ( x ) = 2 x − 21 a a a A ( − 3 a , a ) A(-3a,a) A ( − 3 a , a ) f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( − 3 a ) = a f(-3a)=a f ( − 3 a ) = a 2p − 6 a − 21 = a -6a-21=a − 6 a − 21 = a a = − 3 a=-3 a = − 3 3p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 7 ( 1 + 2 x − x 2 ) = log 7 ( 3 − x ) \log_7\left(1+2x-x^2\right)=\log_7(3-x) log 7 ( 1 + 2 x − x 2 ) = log 7 ( 3 − x )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 1 + 2 x − x 2 = 3 − x 1+2x-x^2=3-x 1 + 2 x − x 2 = 3 − x x 2 − 3 x + 2 = 0 x^2-3x+2=0 x 2 − 3 x + 2 = 0 2p x = 1 x=1 x = 1 x = 2 x=2 x = 2 3p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de 11 11 11
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 90 90 90 90 90 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 5 5 5 11 11 11 5 5 5 p = 5 90 = 1 18 p=\dfrac{5}{90}=\dfrac{1}{18} p = 90 5 = 18 1 3p
Exerciții de același tip: Probabilități și combinatorică → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 0 , 5 ) A(0,5) A ( 0 , 5 ) B ( 2 , 0 ) B(2,0) B ( 2 , 0 ) C ( 4 , 2 ) C(4,2) C ( 4 , 2 ) A D C ADC A D C D D D B C BC BC
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte D ( 3 , 1 ) D(3,1) D ( 3 , 1 ) A D = 5 AD=5 A D = 5 3p A C = 5 AC=5 A C = 5 A D C ADC A D C 2p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A tg B = 1 3 \operatorname{tg}B=\dfrac{1}{3} tg B = 3 1 24 24 24 A C = 4 AC=4 A C = 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A C A B = 1 3 \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{3} A B A C = 3 1 A B = 3 A C AB=3AC A B = 3 A C 2p A B ⋅ A C 2 = 24 \dfrac{AB\cdot AC}{2}=24 2 A B ⋅ A C = 24 A C 2 = 16 AC^2=16 A C 2 = 16 A C = 4 AC=4 A C = 4 3p
Exerciții de același tip: Trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( a ) = ( 2 a + 2 − a a − 3 1 ) A(a)=\begin{pmatrix} 2a+2 & -a \\ a-3 & 1 \end{pmatrix} A ( a ) = ( 2 a + 2 a − 3 − a 1 ) a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 2 \det\big(A(1)\big)=2 det ( A ( 1 ) ) = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 1 ) = ( 4 − 1 − 2 1 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ 4 − 1 − 2 1 ∣ = 4 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = A(1)=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=4\cdot 1-(-1)\cdot(-2)= A ( 1 ) = ( 4 − 2 − 1 1 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = 4 − 2 − 1 1 = 4 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 3p = 4 − 2 = 2 =4-2=2 = 4 − 2 = 2 2p
b) · 5p
Determinați numărul real x x x A ( 0 ) ⋅ ( 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 ) ) = x I 2 A(0)\cdot\big(6I_2-A(2)-A(-2)\big)=xI_2 A ( 0 ) ⋅ ( 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 ) ) = x I 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 0 ) = ( 2 0 − 3 1 ) A(0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} A ( 0 ) = ( 2 − 3 0 1 ) 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 ) = ( 2 0 6 4 ) 6I_2-A(2)-A(-2)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 ) = ( 2 6 0 4 ) A ( 0 ) ⋅ ( 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 ) ) = ( 4 0 0 4 ) = 4 I 2 A(0)\cdot\big(6I_2-A(2)-A(-2)\big)=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=4I_2 A ( 0 ) ⋅ ( 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 ) ) = ( 4 0 0 4 ) = 4 I 2 3p 4 I 2 = x I 2 4I_2=xI_2 4 I 2 = x I 2 x = 4 x=4 x = 4 2p
c) · 5p
Determinați matricea X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) X ∈ M 2 ( R ) A ( 1 ) ⋅ X ⋅ A ( 1 ) = 4 I 2 A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2 A ( 1 ) ⋅ X ⋅ A ( 1 ) = 4 I 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Cum det ( A ( 1 ) ) ≠ 0 \det\big(A(1)\big)\ne 0 det ( A ( 1 ) ) = 0 X = 4 ( A ( 1 ) ) − 1 ⋅ ( A ( 1 ) ) − 1 X=4\big(A(1)\big)^{-1}\cdot\big(A(1)\big)^{-1} X = 4 ( A ( 1 ) ) − 1 ⋅ ( A ( 1 ) ) − 1 2p ( A ( 1 ) ) − 1 = ( 1 2 1 2 1 2 ) \big(A(1)\big)^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix} ( A ( 1 ) ) − 1 = ( 2 1 1 2 1 2 ) X = ( 3 5 10 18 ) X=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix} X = ( 3 10 5 18 ) 3p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Se consideră polinomul f = X 3 − a X + 2 + a f=X^3-aX+2+a f = X 3 − a X + 2 + a a a a
a) · 5p
Arătați că f ( 1 ) = 3 f(1)=3 f ( 1 ) = 3 a a a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 1 ) = 1 3 − a ⋅ 1 + 2 + a = f(1)=1^3-a\cdot 1+2+a= f ( 1 ) = 1 3 − a ⋅ 1 + 2 + a = 3p = 1 + 2 = 3 =1+2=3 = 1 + 2 = 3 a a a 2p
b) · 5p
Determinați numărul real a a a f f f g = X + 2 g=X+2 g = X + 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( − 2 ) = 3 a − 6 f(-2)=3a-6 f ( − 2 ) = 3 a − 6 a a a 3p 3 a − 6 = 0 3a-6=0 3 a − 6 = 0 a = 2 a=2 a = 2 2p
c) · 5p
Determinați numărul real a a a x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x 1 + x 2 + x 3 = 0 x_1+x_2+x_3=0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = − a x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = − a a a a 2p f ( x 1 ) = 0 f(x_1)=0 f ( x 1 ) = 0 f ( x 2 ) = 0 f(x_2)=0 f ( x 2 ) = 0 f ( x 3 ) = 0 f(x_3)=0 f ( x 3 ) = 0 x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = − 3 a − 6 x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3a-6 x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = − 3 a − 6 − 3 a − 6 = − a -3a-6=-a − 3 a − 6 = − a a = − 3 a=-3 a = − 3 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) f(x)=e^x\left(2x^2-3x\right) f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x )
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) f'(x)=e^x(2x+3)(x-1) f ′ ( x ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) + e x ( 4 x − 3 ) = f'(x)=e^x\left(2x^2-3x\right)+e^x(4x-3)= f ′ ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) + e x ( 4 x − 3 ) = 3p = e x ( 2 x 2 + x − 3 ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) =e^x\left(2x^2+x-3\right)=e^x(2x+3)(x-1) = e x ( 2 x 2 + x − 3 ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 2p
b) · 5p
Arătați că lim x → 0 f ( x ) − x f ( x ) + x = 2 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-x}{f(x)+x}=2 x → 0 lim f ( x ) + x f ( x ) − x = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → 0 f ( x ) − x f ( x ) + x = lim x → 0 ( f ( x ) − x ) ′ ( f ( x ) + x ) ′ = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-x}{f(x)+x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\big(f(x)-x\big)'}{\big(f(x)+x\big)'}= x → 0 lim f ( x ) + x f ( x ) − x = x → 0 lim ( f ( x ) + x ) ′ ( f ( x ) − x ) ′ = 2p = lim x → 0 e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) − 1 e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) + 1 = − 3 − 1 − 3 + 1 = 2 =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x(2x+3)(x-1)-1}{e^x(2x+3)(x-1)+1}=\dfrac{-3-1}{-3+1}=2 = x → 0 lim e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) + 1 e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) − 1 = − 3 + 1 − 3 − 1 = 2 3p
c) · 5p
Determinați numerele reale a a a f f f x = a x=a x = a f f f 0 0 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( a ) = 0 f'(a)=0 f ′ ( a ) = 0 e a ( 2 a + 3 ) ( a − 1 ) = 0 e^a(2a+3)(a-1)=0 e a ( 2 a + 3 ) ( a − 1 ) = 0 3p a = − 3 2 a=-\dfrac{3}{2} a = − 2 3 a = 1 a=1 a = 1 2p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : ( − 1 , + ∞ ) → R f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( 2 x 2 + 4 x ) x + 1 f(x)=\left(2x^2+4x\right)\sqrt{x+1} f ( x ) = ( 2 x 2 + 4 x ) x + 1
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 3 f ( x ) x + 1 d x = 36 \displaystyle\int_0^3\dfrac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=36 ∫ 0 3 x + 1 f ( x ) d x = 36
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 3 f ( x ) x + 1 d x = ∫ 0 3 ( 2 x 2 + 4 x ) d x = 2 x 3 3 ∣ 0 3 + 2 x 2 ∣ 0 3 = \displaystyle\int_0^3\dfrac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=\int_0^3\left(2x^2+4x\right)dx=\left.\dfrac{2x^3}{3}\right|_0^3+\left.2x^2\right|_0^3= ∫ 0 3 x + 1 f ( x ) d x = ∫ 0 3 ( 2 x 2 + 4 x ) d x = 3 2 x 3 0 3 + 2 x 2 0 3 = 3p = 18 + 18 = 36 =18+18=36 = 18 + 18 = 36 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 3 8 x 2 + 2 x f ( x ) d x = 1 \displaystyle\int_3^8\dfrac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=1 ∫ 3 8 f ( x ) x 2 + 2 x d x = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 3 8 x 2 + 2 x f ( x ) d x = ∫ 3 8 1 2 x + 1 d x = ∫ 3 8 ( x + 1 ) ′ 2 x + 1 d x = x + 1 ∣ 3 8 = \displaystyle\int_3^8\dfrac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=\int_3^8\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\,dx=\int_3^8\dfrac{(x+1)'}{2\sqrt{x+1}}\,dx=\left.\sqrt{x+1}\right|_3^8= ∫ 3 8 f ( x ) x 2 + 2 x d x = ∫ 3 8 2 x + 1 1 d x = ∫ 3 8 2 x + 1 ( x + 1 ) ′ d x = x + 1 3 8 = 3p = 3 − 2 = 1 =3-2=1 = 3 − 2 = 1 2p
c) · 5p
Se consideră funcția g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb{R} g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = 4 x + 1 f ( x ) g(x)=\dfrac{4\sqrt{x+1}}{f(x)} g ( x ) = f ( x ) 4 x + 1 g g g O x Ox O x x = 1 x=1 x = 1 x = 4 x=4 x = 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte g ( x ) = 2 x 2 + 2 x g(x)=\dfrac{2}{x^2+2x} g ( x ) = x 2 + 2 x 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) A = ∫ 1 4 ∣ g ( x ) ∣ d x = ∫ 1 4 2 x ( x + 2 ) d x = ∫ 1 4 ( 1 x − 1 x + 2 ) d x = \mathcal{A}=\displaystyle\int_1^4|g(x)|\,dx=\int_1^4\dfrac{2}{x(x+2)}\,dx=\int_1^4\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}\right)dx= A = ∫ 1 4 ∣ g ( x ) ∣ d x = ∫ 1 4 x ( x + 2 ) 2 d x = ∫ 1 4 ( x 1 − x + 2 1 ) d x = 3p = ln x ∣ 1 4 − ln ( x + 2 ) ∣ 1 4 = ln 2 =\left.\ln x\right|_1^4-\left.\ln(x+2)\right|_1^4=\ln 2 = ln x ∣ 1 4 − ln ( x + 2 ) ∣ 1 4 = ln 2 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M2 Toate subiectele →