La bac la matematică M2, Subiectul al III-lea · Problema 1 este mereu despre derivate și studiul funcțiilor. Cel mai des apar: limite și continuitate, derivate, monotonie, extreme, asimptote, convexitate. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.
108 de cerințe oficiale pe MateSim
36 de lucrări, 2018–2027
Problema 1 Subiectul al III-lea
Exerciții oficiale, cu barem Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M2 (științe ale naturii) · Subiectul al III-lea, problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 3 x + 2 x − 2 x f(x)=\dfrac{3x+2\sqrt{x}-2}{x} f ( x ) = x 3 x + 2 x − 2
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 2 − x x 2 f'(x)=\dfrac{2-\sqrt{x}}{x^2} f ′ ( x ) = x 2 2 − x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = ( 3 + 1 x ) ⋅ x − ( 3 x + 2 x − 2 ) ⋅ 1 x 2 = f'(x)=\dfrac{\left(3+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\cdot x-\left(3x+2\sqrt{x}-2\right)\cdot 1}{x^2}= f ′ ( x ) = x 2 ( 3 + x 1 ) ⋅ x − ( 3 x + 2 x − 2 ) ⋅ 1 = 3p = 3 x + x − 3 x − 2 x + 2 x 2 = 2 − x x 2 =\dfrac{3x+\sqrt{x}-3x-2\sqrt{x}+2}{x^2}=\dfrac{2-\sqrt{x}}{x^2} = x 2 3 x + x − 3 x − 2 x + 2 = x 2 2 − x x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ 3 x + 2 x − 2 x = lim x → + ∞ ( 3 + 2 x − 2 x ) = 3 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x+2\sqrt{x}-2}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(3+\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x}\right)=3 x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x 3 x + 2 x − 2 = x → + ∞ lim ( 3 + x 2 − x 2 ) = 3 3p Dreapta de ecuație y = 3 y=3 y = 3 f f f 2p
c) · 5p
Demonstrați că imaginea funcției f f f ( − ∞ , 7 2 ] \left(-\infty,\dfrac{7}{2}\right] ( − ∞ , 2 7 ]
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 4 f'(x)=0\Leftrightarrow x=4 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 4 x ∈ ( 0 , 4 ] x\in(0,4] x ∈ ( 0 , 4 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f ( 0 , 4 ] (0,4] ( 0 , 4 ] x ∈ [ 4 , + ∞ ) x\in[4,+\infty) x ∈ [ 4 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ 4 , + ∞ ) [4,+\infty) [ 4 , + ∞ ) 2p lim x → 0 f ( x ) = − ∞ \lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty x → 0 lim f ( x ) = − ∞ f ( 4 ) = 7 2 f(4)=\dfrac{7}{2} f ( 4 ) = 2 7 f f f f f f ( − ∞ , 7 2 ] \left(-\infty,\dfrac{7}{2}\right] ( − ∞ , 2 7 ] 3p
Bacalaureat 2026 la matematică M2 (științe ale naturii): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al III-lea, problema 1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) f(x)=e^x\left(2x^2-3x\right) f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x )
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) f'(x)=e^x(2x+3)(x-1) f ′ ( x ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) + e x ( 4 x − 3 ) = f'(x)=e^x\left(2x^2-3x\right)+e^x(4x-3)= f ′ ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) + e x ( 4 x − 3 ) = 3p = e x ( 2 x 2 + x − 3 ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) =e^x\left(2x^2+x-3\right)=e^x(2x+3)(x-1) = e x ( 2 x 2 + x − 3 ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 2p
b) · 5p
Arătați că lim x → 0 f ( x ) − x f ( x ) + x = 2 \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-x}{f(x)+x}=2 x → 0 lim f ( x ) + x f ( x ) − x = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → 0 f ( x ) − x f ( x ) + x = lim x → 0 ( f ( x ) − x ) ′ ( f ( x ) + x ) ′ = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-x}{f(x)+x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\big(f(x)-x\big)'}{\big(f(x)+x\big)'}= x → 0 lim f ( x ) + x f ( x ) − x = x → 0 lim ( f ( x ) + x ) ′ ( f ( x ) − x ) ′ = 2p = lim x → 0 e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) − 1 e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) + 1 = − 3 − 1 − 3 + 1 = 2 =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x(2x+3)(x-1)-1}{e^x(2x+3)(x-1)+1}=\dfrac{-3-1}{-3+1}=2 = x → 0 lim e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) + 1 e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) − 1 = − 3 + 1 − 3 − 1 = 2 3p
c) · 5p
Determinați numerele reale a a a f f f x = a x=a x = a f f f 0 0 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( a ) = 0 f'(a)=0 f ′ ( a ) = 0 e a ( 2 a + 3 ) ( a − 1 ) = 0 e^a(2a+3)(a-1)=0 e a ( 2 a + 3 ) ( a − 1 ) = 0 3p a = − 3 2 a=-\dfrac{3}{2} a = − 2 3 a = 1 a=1 a = 1 2p
Bacalaureat 2026 la matematică M2 (științe ale naturii): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al III-lea, problema 1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 + 8 x − 2 x 2 + 2 f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2} f ( x ) = x 2 + 2 x 2 + 8 x − 2
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) ( x 2 + 2 ) 2 f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 2 ) 2 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = ( 2 x + 8 ) ( x 2 + 2 ) − ( x 2 + 8 x − 2 ) ⋅ 2 x ( x 2 + 2 ) 2 = f'(x)=\dfrac{(2x+8)\left(x^2+2\right)-\left(x^2+8x-2\right)\cdot 2x}{\left(x^2+2\right)^2}= f ′ ( x ) = ( x 2 + 2 ) 2 ( 2 x + 8 ) ( x 2 + 2 ) − ( x 2 + 8 x − 2 ) ⋅ 2 x = 3p = − 8 x 2 + 8 x + 16 ( x 2 + 2 ) 2 = 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) ( x 2 + 2 ) 2 =\dfrac{-8x^2+8x+16}{\left(x^2+2\right)^2}=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2} = ( x 2 + 2 ) 2 − 8 x 2 + 8 x + 16 = ( x 2 + 2 ) 2 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 2p
b) · 5p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ x 2 + 8 x − 2 x 2 + 2 = lim x → + ∞ x 2 ( 1 + 8 x − 2 x 2 ) x 2 ( 1 + 2 x 2 ) = lim x → + ∞ 1 + 8 x − 2 x 2 1 + 2 x 2 = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2\left(1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}}=1 x → + ∞ lim x 2 + 2 x 2 + 8 x − 2 = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 2 2 ) x 2 ( 1 + x 8 − x 2 2 ) = x → + ∞ lim 1 + x 2 2 1 + x 8 − x 2 2 = 1 3p Dreapta de ecuație y = 1 y=1 y = 1 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2p
c) · 5p
Demonstrați că − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 -2\le f(x)-f(y)\le 2 − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 x , y ∈ [ − 4 , 0 ] x,y\in[-4,0] x , y ∈ [ − 4 , 0 ]
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 x = 2 x=2 x = 2 x ∈ [ − 4 , − 1 ] x\in[-4,-1] x ∈ [ − 4 , − 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ − 4 , − 1 ] [-4,-1] [ − 4 , − 1 ] x ∈ [ − 1 , 0 ] x\in[-1,0] x ∈ [ − 1 , 0 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ − 1 , 0 ] [-1,0] [ − 1 , 0 ] 2p x , y ∈ [ − 4 , 0 ] x,y\in[-4,0] x , y ∈ [ − 4 , 0 ] f ( − 4 ) = − 1 f(-4)=-1 f ( − 4 ) = − 1 f ( − 1 ) = − 3 f(-1)=-3 f ( − 1 ) = − 3 f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 − 3 ≤ f ( x ) ≤ − 1 -3\le f(x)\le -1 − 3 ≤ f ( x ) ≤ − 1 − 3 ≤ f ( y ) ≤ − 1 -3\le f(y)\le -1 − 3 ≤ f ( y ) ≤ − 1 − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 -2\le f(x)-f(y)\le 2 − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 x , y ∈ [ − 4 , 0 ] x,y\in[-4,0] x , y ∈ [ − 4 , 0 ] 3p
Celelalte poziții Bac M2