Sari la conținut

MateSim

Matrice și determinanți · Bac M2

Matrice și determinanți la bac mate M2 (Subiectul al II-lea, problema 1): ce se dă de obicei (operații cu matrice, determinanți, sisteme de ecuații liniare) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La bac la matematică M2, Subiectul al II-lea · Problema 1 este mereu despre matrice și determinanți. Cel mai des apar: operații cu matrice, determinanți, sisteme de ecuații liniare. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

108de cerințe oficiale pe MateSim

36de lucrări, 2018–2027

Problema 1Subiectul al II-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 108 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Matrice și determinanți: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M2 (științe ale naturii) · Subiectul al II-lea, problema 1

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $A=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ 3-2x & 4x+1 \end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

a) · 5p

Arătați că $\det\big(B(2)\big)=19$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$B(2)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(B(2)\big)=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 9 \end{vmatrix}=2\cdot 9-1\cdot(-1)=$	3p
$=18+1=19$	2p

b) · 5p

Arătați că $\big(B(x+1)-B(x)\big)\cdot A=4I_2$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$B(x+1)=\begin{pmatrix} x+1 & 1 \\ 1-2x & 4x+5 \end{pmatrix}$ , $B(x+1)-B(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ , pentru orice număr real $x$	2p
$\big(B(x+1)-B(x)\big)\cdot A=\begin{pmatrix} 4+0 & 0+0 \\ -8+8 & 0+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=4I_2$ , pentru orice număr real $x$	3p

c) · 5p

Determinați matricea $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $B(3)\cdot X=2A+B(2)\cdot X$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\big(B(3)-B(2)\big)\cdot X=2A$ și, cum $\big(B(3)-B(2)\big)^{-1}=\dfrac{1}{4}A$ , obținem $X=\dfrac{1}{2}A\cdot A$	3p
$X=\begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 5 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$	2p

Bacalaureat 2026 la matematică M2 (științe ale naturii): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al II-lea, problema 1

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix} 2a+2 & -a \\ a-3 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $a$ este număr real.

a) · 5p

Arătați că $\det\big(A(1)\big)=2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(1)=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=4\cdot 1-(-1)\cdot(-2)=$	3p
$=4-2=2$	2p

b) · 5p

Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0)\cdot\big(6I_2-A(2)-A(-2)\big)=xI_2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ , $6I_2-A(2)-A(-2)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$ , $A(0)\cdot\big(6I_2-A(2)-A(-2)\big)=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=4I_2$	3p
$4I_2=xI_2$ , de unde obținem $x=4$	2p

c) · 5p

Determinați matricea $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Cum $\det\big(A(1)\big)\ne 0$ , $X=4\big(A(1)\big)^{-1}\cdot\big(A(1)\big)^{-1}$	2p
$\big(A(1)\big)^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , de unde obținem $X=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}$	3p

Bacalaureat 2026 la matematică M2 (științe ale naturii): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al II-lea, problema 1

Se consideră matricea $A(x,y)=\begin{pmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{pmatrix}$ , unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) · 5p

Arătați că $\det\big(A(1,2)\big)=1$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(1,2)=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1,2)\big)=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}=3\cdot 3-2\cdot 4=$	3p
$=9-8=1$	2p

b) · 5p

Arătați că matricea $A(x,y)$ este inversabilă, pentru orice numere reale distincte $x$ și $y$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\det\big(A(x,y)\big)=\begin{vmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{vmatrix}=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$	3p
Cum $x\ne y$ , obținem $\det\big(A(x,y)\big)\ne 0$ , deci matricea $A(x,y)$ este inversabilă, pentru orice numere reale distincte $x$ și $y$	2p

c) · 5p

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$A(x,2)=\begin{pmatrix} x+2 & 2x \\ 4 & x+2 \end{pmatrix}$ , $A(x,2)\cdot A(x,2)=\begin{pmatrix} x^2+12x+4 & 4x^2+8x \\ 8x+16 & x^2+12x+4 \end{pmatrix}$ , $4A(y,0)=\begin{pmatrix} 4y & 0 \\ 16 & 4y \end{pmatrix}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$	3p
$x=0$ și $y=1$	2p

Celelalte poziții Bac M2