Formule bac: matrice și determinanți

Definițiile, teoremele și formulele pentru matrice și determinanți la bacul la matematică (Subiectul al II-lea · Problema 1): Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Problema 1 din Subiectul al II-lea: matrice, determinanți și sisteme de ecuații liniare.

De reținut

Un sistem are soluție unică exact atunci când determinantul matricei sistemului este nenul: $\Delta\ne0$ .

Operații cu matrice

Produsul a două matrice

Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ a lui $AB$ se obține înmulțind linia $i$ din $A$ cu coloana $j$ din $B$ , termen cu termen, și adunând. În general $AB\ne BA$ .

Matricea unitate

$I_n$ are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest; $A\cdot I_n=I_n\cdot A=A$ .

Transpusa și urma

$A^t$ se obține din $A$ schimbând liniile cu coloanele. Urma, $\operatorname{Tr}A$ , este suma elementelor de pe diagonala principală.

Produsul $2\times2$

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bt\\cx+dz&cy+dt\end{pmatrix}

Puterea unei matrice

A^2=A\cdot A,\quad A^{n+1}=A^n\cdot A

pentru $A^n$ : calculezi primele puteri și demonstrezi regula prin inducție

Relația Cayley–Hamilton ( $2\times2$ )

A^2-(\operatorname{Tr}A)\,A+(\det A)\,I_2=O_2

Determinanți

Proprietăți

Un determinant cu o linie (coloană) nulă sau cu două linii (coloane) egale este 0. Dacă la o linie adaugi altă linie înmulțită cu un număr, determinantul nu se schimbă.

Determinant de ordinul 2

\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc

Determinant de ordinul 3 (Sarrus)

\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi

Determinantul produsului

\det(AB)=\det A\cdot\det B

Determinantul transpusei

\det A^t=\det A

Înmulțirea cu un număr

\det(kA)=k^n\det A

pentru o matrice de ordinul $n$

Puterea

\det(A^n)=(\det A)^n

Determinantul este $0$ dacă o linie (sau coloană) are numai zerouri sau dacă două linii (coloane) sunt proporționale. Nu se schimbă dacă la o linie aduni o altă linie înmulțită cu un număr; își schimbă semnul dacă schimbi două linii între ele.

Matricea inversă și rangul

Matrice inversabilă

$A$ este inversabilă dacă există $A^{-1}$ cu $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$ . Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă $\det A\ne0$ .

Rangul

Ordinul maxim al unui minor nenul al matricei. Pentru o matrice pătratică de ordinul $n$ : $\operatorname{rang}A=n$ dacă și numai dacă $\det A\ne0$ .

Inversa prin adjunctă

Calculezi $\det A\ne0$ , transpusa $A^t$ , adjuncta $A^*$ (fiecare element al lui $A^t$ înlocuit cu complementul său algebric $(-1)^{i+j}\cdot$ minorul), apoi $A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*$ .

Inversa

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^{*}

$A^*$ este matricea adjunctă

Inversa unei matrice $2\times2$

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Inversa produsului

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

Ecuații matriceale

AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B,\qquad XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}

$AXC=B\Rightarrow X=A^{-1}BC^{-1}$ (cu $\det A\ne0$ , $\det C\ne0$ )

Sisteme de ecuații liniare

Sistem compatibil determinat

Un sistem cu soluție unică. Un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute este compatibil determinat dacă și numai dacă $\Delta\ne0$ .

Sistem omogen

Toți termenii liberi sunt $0$ . Are mereu soluția nulă; are și soluții nenule dacă și numai dacă $\Delta=0$ .

Compatibilitatea

Dacă $\det A=0$ (sau $A$ nu e pătratică): afli rangul și minorul principal; calculezi minorii caracteristici (bordați cu coloana termenilor liberi). Dacă un minor caracteristic e nenul, sistemul e incompatibil; dacă toți sunt nuli, e compatibil nedeterminat (Rouché).

Rezolvarea unui sistem nedeterminat

Ecuațiile din minorul principal sunt principale; necunoscutele din afara lui devin secundare ( $\alpha$ , $\beta$ , ...). O necunoscută secundară: simplu nedeterminat; două: dublu nedeterminat.

Regula lui Cramer

x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}

$\Delta_x$ : în $\Delta$ înlocuiești coloana lui $x$ cu coloana termenilor liberi

Dacă $\Delta=0$ , sistemul este fie incompatibil (fără soluții), fie compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții, exprimate cu un parametru).

Permutări

Permutare de grad $n$

O funcție bijectivă $\sigma:\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$ , scrisă pe două linii: $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\dots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\dots&\sigma(n)\end{pmatrix}$ . Permutarea identică $e$ duce fiecare număr în el însuși.

Inversa și compunerea

Inversa $\sigma^{-1}$ se obține schimbând liniile între ele și ordonând apoi prima linie. Compunerea: $(\sigma\delta)(k)=\sigma(\delta(k))$ .

Inversiuni și semn

Perechea $(i,j)$ , $i<j$ , este inversiune dacă $\sigma(i)>\sigma(j)$ ; $m(\sigma)$ = numărul inversiunilor. Semnul: $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{m(\sigma)}$ . Permutarea e pară dacă $\varepsilon(\sigma)=1$ și impară dacă $\varepsilon(\sigma)=-1$ .

Transpoziția

$\tau_{ij}$ schimbă între ele doar $i$ și $j$ ; orice transpoziție este impară.

Semnul produsului

\varepsilon(\sigma\delta)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\delta),\qquad \varepsilon(\sigma^n)=\varepsilon(\sigma)^n

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →