Formule bac: legi de compoziție și polinoame

Definițiile, teoremele și formulele pentru legi de compoziție și polinoame la bacul la matematică (Subiectul al II-lea · Problema 2): Legi de compoziție și polinoame, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Problema 2 din Subiectul al II-lea: legi de compoziție, grupuri, morfisme și polinoame.

De reținut

Încearcă să scrii legea de compoziție ca produs, de exemplu $xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2$ : proprietățile se verifică mult mai ușor.

Legi de compoziție

Lege de compoziție

O regulă care asociază oricăror două elemente $x,y$ dintr-o mulțime $M$ un element $x*y$ tot din $M$ ( $M$ este parte stabilă).

Element neutru

$e\in M$ cu $x*e=e*x=x$ pentru orice $x\in M$ . Dacă există, este unic.

Element simetric

$x'\in M$ este simetricul lui $x$ dacă $x*x'=x'*x=e$ .

Parte stabilă

$H\subseteq M$ este parte stabilă pentru $\circ$ dacă $x\circ y\in H$ pentru orice $x,y\in H$ .

Elemente simetrizabile

$\mathcal{U}(M)$ = mulțimea elementelor care au simetric față de lege.

Asociativitate

(x*y)*z=x*(y*z)

Comutativitate

x*y=y*x

Exemplu de scriere ca produs

xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2

Grupuri și morfisme

Grup

$(G,*)$ este grup dacă legea este asociativă, are element neutru și orice element are simetric. Este abelian (comutativ) dacă legea este și comutativă.

Subgrup

O submulțime $H\subseteq G$ care este grup cu aceeași lege: e stabilă la operație și conține simetricul fiecărui element al ei.

Morfism de grupuri

$f:(G,*)\to(H,\circ)$ cu $f(x*y)=f(x)\circ f(y)$ pentru orice $x,y$ . Un morfism bijectiv este izomorfism. Un morfism duce neutrul în neutru: $f(e_G)=e_H$ .

Inel și corp

$(A,+,\cdot)$ este inel dacă $(A,+)$ este grup abelian, înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare. Un corp este un inel în care orice element nenul are invers la înmulțire.

Monoid

$(M,\circ)$ este monoid dacă legea e asociativă și are element neutru (comutativ, dacă legea e și comutativă).

Izomorfism

Un morfism bijectiv. Un morfism de grupuri duce elementul neutru în elementul neutru: $f(e_1)=e_2$ .

Morfism de inele

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ , $f(xy)=f(x)f(y)$ și $f(1)=1$ (cu legile inelelor).

Polinoame

Rădăcină

$a$ este rădăcină a polinomului $f$ dacă $f(a)=0$ .

Teorema lui Bézout

$a$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $f$ se divide cu $X-a$ .

Rădăcini complexe

Un polinom cu coeficienți reali care are rădăcina $a+bi$ are și rădăcina $a-bi$ . Un polinom de grad $n$ are exact $n$ rădăcini complexe (cu multiplicitate).

Gradul și suma coeficienților

Gradul este cel mai mare exponent al lui $X$ (polinomul constant nenul are gradul 0). Suma coeficienților lui $f$ este $f(1)$ .

Divizibilitatea

$f\,\vdots\,g$ dacă restul împărțirii lui $f$ la $g$ este 0. $f\,\vdots\,(X-a)\iff f(a)=0$ .

Polinoame ireductibile

$f$ (de grad cel puțin 1) este reductibil peste $K$ dacă se scrie $f=gh$ cu $g,h\in K[X]$ de grad cel puțin 1; altfel este ireductibil.

Rădăcini întregi și raționale

Pentru coeficienți întregi: rădăcinile întregi divid termenul liber; rădăcinile raționale $\frac{p}{q}$ au $p$ divizor al termenului liber și $q$ divizor al coeficientului dominant.

Rădăcini conjugate

Dacă $f\in\mathbb{Q}[X]$ are rădăcina $a+\sqrt b$ , are și $a-\sqrt b$ ; dacă $f\in\mathbb{R}[X]$ are rădăcina $a+bi$ , are și $a-bi$ .

Teorema împărțirii cu rest

f=g\cdot q+r,\quad \operatorname{grad} r<\operatorname{grad} g

Restul împărțirii la $X-a$

r=f(a)

câtul se află rapid cu schema lui Horner

Rădăcină dublă

f(a)=0\ \text{și}\ f'(a)=0

Rădăcină dublă cu derivata

a \text{ dublă}\iff f(a)=0 \text{ și } f'(a)=0

Descompunerea în factori

f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots(X-x_n)

Relațiile lui Viète

Polinomul	Relațiile
$aX^2+bX+c$	$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$
$aX^3+bX^2+cX+d$	$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$
	$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$
	$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

Suma pătratelor rădăcinilor

x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)

Suma inverselor

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}

Ecuația cu rădăcinile date (gradul 3)

x^3-S_1x^2+S_2x-S_3=0

pentru gradul 4: $x^4-S_1x^3+S_2x^2-S_3x+S_4=0$

Ecuații reciproce

Gradul 3

ax^3+bx^2+bx+a=(x+1)\big(ax^2+(b-a)x+a\big)

are mereu rădăcina $x=-1$

Gradul 4

ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0\ \Big|:x^2,\quad x+\frac{1}{x}=t

$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ , deci $at^2+bt+c-2a=0$

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →