MateSim

Formule bac: integrale

Definițiile, teoremele și formulele pentru integrale la bacul la matematică (Subiectul al III-lea · Problema 2): Elemente de analiză matematică, clasa a XII-a, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Problema 2 din Subiectul al III-lea: primitive, integrala definită, arii și volume.

De reținut

FF este o primitivă a lui ff exact atunci când F′=fF'=f: ca să verifici o primitivă, o derivezi.

Primitive

Primitivă

O funcție FF derivabilă, cu F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) pentru orice xx din interval. Două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă.

Integrala nedefinită

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C este mulțimea tuturor primitivelor lui ff.

Existență

Orice funcție continuă pe un interval are primitive. O funcție care are primitive are proprietatea lui Darboux.

Când folosești ce

Ca să calculezi o primitivă: F(x)=∫f(x) dxF(x)=\int f(x)\,dx. Ca să arăți că FF este primitivă a lui ff: verifici definiția, F′=fF'=f. Ca să arăți că ff admite primitive: arăți că este continuă.

Tabelul primitivelor

FuncțiaPrimitivele
xn (n≠−1)x^n\ (n\ne-1)xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
1x\frac{1}{x}ln⁡∣x∣+C\ln|x|+C
exe^xex+Ce^x+C
axa^xaxln⁡a+C\frac{a^x}{\ln a}+C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x+C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x+C
1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x}tg⁡x+C\operatorname{tg} x+C
1sin⁡2x\frac{1}{\sin^2 x}−ctg⁡x+C-\operatorname{ctg} x+C
1x2+a2\frac{1}{x^2+a^2}1aarctg⁡xa+C\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C
1x2−a2\frac{1}{x^2-a^2}12aln⁡∣x−ax+a∣+C\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C
1x2+a2\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}ln⁡(x+x2+a2)+C\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C
1a2−x2\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}arcsin⁡xa+C\arcsin\frac{x}{a}+C
u′u\frac{u'}{u}ln⁡∣u∣+C\ln|u|+C

Integrala definită

Formula Leibniz–Newton
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ab\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(x)\Big|_a^b
Integrarea prin părți
∫abf(x) g′(x) dx=f(x) g(x)∣ab−∫abf′(x) g(x) dx\int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)\Big|_a^b-\int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx
Schimbarea de variabilă
∫abf(u(x)) u′(x) dx=∫u(a)u(b)f(t) dt\int_a^b f(u(x))\,u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,dt
Liniaritatea
∫ab(αf+βg) dx=α∫abf dx+β∫abg dx\int_a^b (\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha\int_a^b f\,dx+\beta\int_a^b g\,dx
Aditivitatea la interval
∫abf dx=∫acf dx+∫cbf dx\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx
Funcții pare și impare
∫−aaf dx=2∫0af dx (para˘),∫−aaf dx=0 (impara˘)\int_{-a}^{a} f\,dx=2\int_0^a f\,dx\ \text{(pară)},\quad \int_{-a}^{a} f\,dx=0\ \text{(impară)}
Limite egale
∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx=0
Pozitivitatea
f≥0 pe [a,b]⇒∫abf(x) dx≥0f\ge0 \text{ pe } [a,b]\Rightarrow \int_a^b f(x)\,dx\ge0

Proprietăți și inegalități

Monotonia integralei

Dacă f(x)≤g(x)f(x)\le g(x) pe [a,b][a,b], atunci ∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx. În particular, dacă f≥0f\ge0, integrala este ≥0\ge0.

Încadrarea integralei

Dacă m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le M pe [a,b][a,b], atunci m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a). Așa se calculează limitele de șiruri cu integrale.

Teorema de medie

Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b], există c∈[a,b]c\in[a,b] cu ∫abf(x) dx=(b−a) f(c)\int_a^b f(x)\,dx=(b-a)\,f(c).

Arii și volume

Aria subgraficului
A=∫ab∣f(x)∣ dx\mathcal{A}=\int_a^b |f(x)|\,dx
Aria dintre două grafice
A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\mathcal{A}=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx
Volumul corpului de rotație
V=π∫abf2(x) dxV=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →