Formule bac: derivate și studiul funcțiilor

Definițiile, teoremele și formulele pentru derivate și studiul funcțiilor la bacul la matematică (Subiectul al III-lea · Problema 1): Elemente de analiză matematică, clasa a XI-a, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Problema 1 din Subiectul al III-lea: limite, continuitate, derivate și studiul funcțiilor.

De reținut

Semnul derivatei dă monotonia funcției, iar punctele în care derivata se anulează și își schimbă semnul sunt puncte de extrem.

Limite și continuitate

Continuitate

$f$ este continuă în $x_0$ dacă $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ , adică limitele laterale sunt egale cu valoarea funcției: $l_s(x_0)=l_d(x_0)=f(x_0)$ .

Proprietatea lui Darboux

O funcție continuă pe un interval nu „sare” valori: dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$ , atunci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$ .

Limite remarcabile

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1

Numărul $e$

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,\quad \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e

Regula lui l'Hôpital

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

pentru cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$

Derivabilitate

Derivata într-un punct

$f$ este derivabilă în $x_0$ dacă limita $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ există și este finită. Geometric, $f'(x_0)$ este panta tangentei la grafic în $x_0$ .

Derivabilitate și continuitate

O funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct (reciproca nu e adevărată).

Tangenta în punctul $x_0$

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

Tabelul derivatelor

Funcția	Derivata	Funcția compusă	Derivata
$c\ (\text{constantă})$	$0$
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$u^n$	$n\,u^{n-1}\,u'$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{u}$	$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\frac{1}{u}$	$-\frac{u'}{u^2}$
$e^x$	$e^x$	$e^u$	$e^u\,u'$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a^u$	$a^u\ln a\cdot u'$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$\ln u$	$\frac{u'}{u}$
$\sin x$	$\cos x$	$\sin u$	$\cos u\cdot u'$
$\cos x$	$-\sin x$	$\cos u$	$-\sin u\cdot u'$
$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\operatorname{tg} u$	$\frac{u'}{\cos^2 u}$
$\operatorname{arctg} x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\operatorname{arctg} u$	$\frac{u'}{1+u^2}$

Reguli de derivare

Operația	Derivata
$f\pm g$	$f'\pm g'$
$c\cdot f$	$c\cdot f'$
$f\cdot g$	$f'g+fg'$
$\frac{f}{g}$	$\frac{f'g-fg'}{g^2}$
$f(u(x))$	$f'(u(x))\cdot u'(x)$

Teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange

Teorema lui Fermat

Dacă $f$ este derivabilă într-un punct de extrem $x_0$ din interiorul intervalului, atunci $f'(x_0)=0$ .

Teorema lui Rolle

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ , derivabilă pe $(a,b)$ și $f(a)=f(b)$ , atunci există $c\in(a,b)$ cu $f'(c)=0$ .

Teorema lui Lagrange

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$ , atunci există $c\in(a,b)$ cu $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ .

Consecințe

Dacă $f'=0$ pe un interval, $f$ este constantă pe el. Între două rădăcini ale lui $f$ există cel puțin o rădăcină a lui $f'$ (din Rolle).

Studiul funcțiilor

Monotonia

Dacă $f'(x)\ge0$ pe un interval, $f$ este crescătoare pe acel interval; dacă $f'(x)\le0$ , $f$ este descrescătoare.

Punct de extrem

Un punct $x_0$ în care $f'(x_0)=0$ și derivata își schimbă semnul: minim dacă trece de la $-$ la $+$ , maxim dacă trece de la $+$ la $-$ .

Convexitate

Dacă $f''(x)\ge0$ pe un interval, $f$ este convexă; dacă $f''(x)\le0$ , este concavă. Punctul în care $f''$ își schimbă semnul este punct de inflexiune.

Asimptota orizontală

y=\ell,\quad \ell=\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\in\mathbb{R}

Asimptota oblică

y=mx+n,\quad m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\ne0,\ n=\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)

Asimptota verticală

x=x_0,\quad \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty

O funcție strict monotonă pe un interval are cel mult o rădăcină în el; împreună cu Darboux, așa se arată că o ecuație are soluție unică.

Șiruri

Mărginire

$(a_n)$ este mărginit dacă există $m$ , $M$ reale cu $m\le a_n\le M$ pentru orice $n$ .

Monotonie

Crescător dacă $a_{n+1}-a_n\ge0$ (strict: $>0$ ); pentru termeni pozitivi se poate compara $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ cu 1.

Convergență

Un șir e convergent dacă are limită finită. Orice șir monoton și mărginit este convergent (Weierstrass).

Lema Stolz–Cesàro

Dacă $(b_n)$ este strict crescător și nemărginit: $\lim\frac{a_n}{b_n}=\lim\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$ , când a doua limită există.

Criteriul raportului

Pentru $a_n>0$ și $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=l$ : dacă $l<1$ , $a_n\to0$ ; dacă $l>1$ , $a_n\to\infty$ . Criteriul radicalului: $\lim\sqrt[n]{a_n}=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$ .

Limita lui $q^n$

\lim_{n\to\infty}q^n=\begin{cases}0,&q\in(-1,1)\\1,&q=1\\\infty,&q>1\\\text{nu există},&q\le-1\end{cases}

Limite: cazuri de nedeterminare

Limite laterale

Limita în $x_0$ există dacă $l_s(x_0)=l_d(x_0)$ .

Idei de rezolvare

$\frac{\infty}{\infty}$ : factor comun forțat sau l'Hôpital; $\infty-\infty$ : factor comun, amplificarea cu conjugata (radicali) sau $\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$ ; $0\cdot\infty$ : scrii ca fracție; $0^0$ , $\infty^0$ : $f^g=e^{g\ln f}$ .

Limite remarcabile (cu $u(x)\to0$ )

\frac{\sin u}{u}\to1,\ \frac{\operatorname{tg}u}{u}\to1,\ \frac{\arcsin u}{u}\to1,\ \frac{\operatorname{arctg}u}{u}\to1

Logaritm și exponențială

\frac{\ln(1+u)}{u}\to1,\qquad \frac{a^u-1}{u}\to\ln a

Cazul $1^\infty$

\lim\big(1+u(x)\big)^{\frac{1}{u(x)}}=e

Rezultate utile

\frac{1}{0_+}=+\infty,\ \frac{1}{0_-}=-\infty,\ \ln0_+=-\infty,\ e^{-\infty}=0,\ \operatorname{arctg}(\pm\infty)=\pm\frac{\pi}{2}

Continuitate și derivabilitate: completări

Cauchy–Bolzano

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $f(a)f(b)<0$ , ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$ . O funcție continuă are semn constant pe un interval pe care nu se anulează.

Puncte de întoarcere și unghiulare

$x_0$ (cu $f$ continuă în el) este punct unghiular dacă derivatele laterale sunt diferite și cel puțin una finită, și punct de întoarcere dacă sunt infinite și diferite.

Șirul lui Rolle

Pentru numărul de soluții reale ale lui $f(x)=0$ : rezolvi $f'(x)=0$ , faci tabelul cu valorile lui $f$ în rădăcinile lui $f'$ și la capete; fiecare schimbare de semn dă o soluție.

Punct de inflexiune

$x_0$ în care $f$ este continuă, are derivată și își schimbă convexitatea (convexă de o parte, concavă de cealaltă).

Rolul derivatei I

f'\ge0 \text{ pe } I\Rightarrow f \nearrow;\qquad f'\le0\Rightarrow f\searrow

pentru monotonie, extreme, inegalități, imagine, mărginire și bijectivitate (strict monotonă + imaginea = codomeniul)

Rolul derivatei a II-a

f''\ge0 \text{ pe } I\Rightarrow f \text{ convexă};\qquad f''\le0\Rightarrow f \text{ concavă}

Derivata inversei

(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0)

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →