Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Arătați că 1 4 + 3 ⋅ ( 3 2 − 1 4 ) = 4 \dfrac{1}{4}+3\cdot\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{4}\right)=4 4 1 + 3 ⋅ ( 2 3 − 4 1 ) = 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 1 4 + 3 ⋅ ( 3 2 − 1 4 ) = 1 4 + 3 ⋅ 5 4 = \dfrac{1}{4}+3\cdot\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{4}+3\cdot\dfrac{5}{4}= 4 1 + 3 ⋅ ( 2 3 − 4 1 ) = 4 1 + 3 ⋅ 4 5 = 3p = 1 4 + 15 4 = 4 =\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{4}=4 = 4 1 + 4 15 = 4 2p
Exerciții de același tip: Numere și calcul → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 4 x − 9 f(x)=4x-9 f ( x ) = 4 x − 9 a a a f ( a ) = a f(a)=a f ( a ) = a
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( a ) = 4 a − 9 f(a)=4a-9 f ( a ) = 4 a − 9 a a a 2p 4 a − 9 = a 4a-9=a 4 a − 9 = a a = 3 a=3 a = 3 3p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 3 · 5p
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x − 1 = x \sqrt{2x-1}=x 2 x − 1 = x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 x − 1 = x 2 2x-1=x^2 2 x − 1 = x 2 x 2 − 2 x + 1 = 0 x^2-2x+1=0 x 2 − 2 x + 1 = 0 3p x = 1 x=1 x = 1 2p
Exerciții de același tip: Ecuații și inecuații → Exercițiul 4 · 5p
Se consideră mulțimea A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } n n n A A A n ( n + 1 ) n(n+1) n ( n + 1 ) 10 10 10
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Mulțimea A A A 8 8 8 8 8 8 2p În mulțimea A A A 2 2 2 n n n n ( n + 1 ) n(n+1) n ( n + 1 ) 10 10 10 2 2 2 p = 2 8 = 1 4 p=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4} p = 8 2 = 4 1 3p
Exerciții de același tip: Procente și probabilități → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 6 , 8 ) A(6,8) A ( 6 , 8 ) B ( 8 , 4 ) B(8,4) B ( 8 , 4 ) M M M O A OA O A O B M OBM OBM
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M ( 3 , 4 ) M(3,4) M ( 3 , 4 ) O M = 5 OM=5 OM = 5 3p B M = 5 BM=5 BM = 5 O M = B M OM=BM OM = BM O B M OBM OBM 2p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A C = 6 AC=6 A C = 6 A C = 3 A B AC=3AB A C = 3 A B B C = 2 10 BC=2\sqrt{10} BC = 2 10
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A B = 2 AB=2 A B = 2 2p B C 2 = 2 2 + 6 2 = 40 BC^2=2^2+6^2=40 B C 2 = 2 2 + 6 2 = 40 B C = 2 10 BC=2\sqrt{10} BC = 2 10 3p
Exerciții de același tip: Geometrie și trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea M ( a ) = ( a + 1 4 − 1 a − 4 ) M(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 4 \\ -1 & a-4 \end{pmatrix} M ( a ) = ( a + 1 − 1 4 a − 4 ) a a a
a) · 5p
Arătați că det ( M ( 0 ) ) = 0 \det\big(M(0)\big)=0 det ( M ( 0 ) ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M ( 0 ) = ( 1 4 − 1 − 4 ) ⇒ det ( M ( 0 ) ) = ∣ 1 4 − 1 − 4 ∣ = 1 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ ( − 1 ) = M(0)=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(M(0)\big)=\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{vmatrix}=1\cdot(-4)-4\cdot(-1)= M ( 0 ) = ( 1 − 1 4 − 4 ) ⇒ det ( M ( 0 ) ) = 1 − 1 4 − 4 = 1 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ ( − 1 ) = 3p = − 4 + 4 = 0 =-4+4=0 = − 4 + 4 = 0 2p
b) · 5p
Arătați că M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 ) M(3)+2M(0)=3M(1) M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M ( 3 ) = ( 4 4 − 1 − 1 ) M(3)=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} M ( 3 ) = ( 4 − 1 4 − 1 ) M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 6 12 − 3 − 9 ) = M(3)+2M(0)=\begin{pmatrix} 6 & 12 \\ -3 & -9 \end{pmatrix}= M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 6 − 3 12 − 9 ) = 3p = 3 ( 2 4 − 1 − 3 ) = 3 M ( 1 ) =3\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}=3M(1) = 3 ( 2 − 1 4 − 3 ) = 3 M ( 1 ) 2p
c) · 5p
Determinați numărul real a a a M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) M(a)\cdot M(0)=3M(0) M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = 3 M ( 0 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = ( a − 3 4 a − 12 3 − a 12 − 4 a ) M(a)\cdot M(0)=\begin{pmatrix} a-3 & 4a-12 \\ 3-a & 12-4a \end{pmatrix} M ( a ) ⋅ M ( 0 ) = ( a − 3 3 − a 4 a − 12 12 − 4 a ) a a a 3p ( a − 3 4 a − 12 3 − a 12 − 4 a ) = ( 3 12 − 3 − 12 ) \begin{pmatrix} a-3 & 4a-12 \\ 3-a & 12-4a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -3 & -12 \end{pmatrix} ( a − 3 3 − a 4 a − 12 12 − 4 a ) = ( 3 − 3 12 − 12 ) a = 6 a=6 a = 6 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x y + 4 ( x + y ) x\circ y=xy+4(x+y) x ∘ y = x y + 4 ( x + y )
a) · 5p
Arătați că 1 ∘ 2 = 14 1\circ 2=14 1 ∘ 2 = 14
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 1 ∘ 2 = 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) = 1\circ 2=1\cdot 2+4(1+2)= 1 ∘ 2 = 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) = 3p = 2 + 12 = 14 =2+12=14 = 2 + 12 = 14 2p
b) · 5p
Determinați numărul real x x x x ∘ 3 = x x\circ 3=x x ∘ 3 = x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∘ 3 = 7 x + 12 x\circ 3=7x+12 x ∘ 3 = 7 x + 12 x x x 3p 7 x + 12 = x 7x+12=x 7 x + 12 = x x = − 2 x=-2 x = − 2 2p
c) · 5p
Determinați numărul real x x x 2 x ∘ 4 = 2 x + 4 2^x\circ 4=2^{x+4} 2 x ∘ 4 = 2 x + 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 x ∘ 4 = 2 x ⋅ 4 + 4 ( 2 x + 4 ) = 8 ⋅ 2 x + 16 2^x\circ 4=2^x\cdot 4+4\left(2^x+4\right)=8\cdot 2^x+16 2 x ∘ 4 = 2 x ⋅ 4 + 4 ( 2 x + 4 ) = 8 ⋅ 2 x + 16 x x x 2p 8 ⋅ 2 x + 16 = 2 x + 4 ⇔ 2 x + 3 = 2 4 8\cdot 2^x+16=2^{x+4}\Leftrightarrow 2^{x+3}=2^4 8 ⋅ 2 x + 16 = 2 x + 4 ⇔ 2 x + 3 = 2 4 x = 1 x=1 x = 1 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 1 x 2 + 4 x + 5 f(x)=\dfrac{1}{x^2+4x+5} f ( x ) = x 2 + 4 x + 5 1
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = − 2 ( x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 f'(x)=\dfrac{-2(x+2)}{\left(x^2+4x+5\right)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 − 2 ( x + 2 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 1 ′ ⋅ ( x 2 + 4 x + 5 ) − 1 ⋅ ( x 2 + 4 x + 5 ) ′ ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 = f'(x)=\dfrac{1'\cdot\left(x^2+4x+5\right)-1\cdot\left(x^2+4x+5\right)'}{\left(x^2+4x+5\right)^2}= f ′ ( x ) = ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 1 ′ ⋅ ( x 2 + 4 x + 5 ) − 1 ⋅ ( x 2 + 4 x + 5 ) ′ = 2p = 0 − ( 2 x + 4 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 = − 2 ( x + 2 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 =\dfrac{0-(2x+4)}{\left(x^2+4x+5\right)^2}=\dfrac{-2(x+2)}{\left(x^2+4x+5\right)^2} = ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 0 − ( 2 x + 4 ) = ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 − 2 ( x + 2 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 3p
b) · 5p
Arătați că lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-1\right)\cdot f(x)=1 x → + ∞ lim ( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = lim x → + ∞ x 2 − 1 x 2 + 4 x + 5 = lim x → + ∞ x 2 ( 1 − 1 x 2 ) x 2 ( 1 + 4 x + 5 x 2 ) = \lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-1\right)\cdot f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-1}{x^2+4x+5}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}= x → + ∞ lim ( x 2 − 1 ) ⋅ f ( x ) = x → + ∞ lim x 2 + 4 x + 5 x 2 − 1 = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 4 + x 2 5 ) x 2 ( 1 − x 2 1 ) = 3p = lim x → + ∞ 1 − 1 x 2 1 + 4 x + 5 x 2 = 1 =\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}=1 = x → + ∞ lim 1 + x 4 + x 2 5 1 − x 2 1 = 1 2p
c) · 5p
Demonstrați că 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 5f(x)+f(-x)\le 2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 x ∈ [ 0 , + ∞ ) x\in[0,+\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 2 f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 2 x ∈ ( − ∞ , − 2 ] x\in(-\infty,-2] x ∈ ( − ∞ , − 2 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f ( − ∞ , − 2 ] (-\infty,-2] ( − ∞ , − 2 ] x ∈ [ − 2 , + ∞ ) x\in[-2,+\infty) x ∈ [ − 2 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ − 2 , + ∞ ) [-2,+\infty) [ − 2 , + ∞ ) 2p x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇒ − x ∈ ( − ∞ , 0 ] x\in[0,+\infty)\Rightarrow -x\in(-\infty,0] x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇒ − x ∈ ( − ∞ , 0 ] f ( x ) ≤ f ( 0 ) f(x)\le f(0) f ( x ) ≤ f ( 0 ) f ( − x ) ≤ f ( − 2 ) f(-x)\le f(-2) f ( − x ) ≤ f ( − 2 ) f ( 0 ) = 1 5 f(0)=\dfrac{1}{5} f ( 0 ) = 5 1 f ( − 2 ) = 1 f(-2)=1 f ( − 2 ) = 1 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 5f(x)+f(-x)\le 2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 x ∈ [ 0 , + ∞ ) x\in[0,+\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ ) 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1 f(x)=5x^2+2x+1 f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 8 3 \displaystyle\int_0^1\big(f(x)-2x\big)\,dx=\dfrac{8}{3} ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 3 8
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = ∫ 0 1 ( 5 x 2 + 1 ) d x = 5 x 3 3 ∣ 0 1 + x ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1\big(f(x)-2x\big)\,dx=\int_0^1\left(5x^2+1\right)dx=\left.\dfrac{5x^3}{3}\right|_0^1+\left.x\right|_0^1= ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = ∫ 0 1 ( 5 x 2 + 1 ) d x = 3 5 x 3 0 1 + x ∣ 0 1 = 3p = 5 3 + 1 = 8 3 =\dfrac{5}{3}+1=\dfrac{8}{3} = 3 5 + 1 = 3 8 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 2 1 f ( x ) − 5 x 2 d x = ln 5 2 \displaystyle\int_0^2\dfrac{1}{f(x)-5x^2}\,dx=\dfrac{\ln 5}{2} ∫ 0 2 f ( x ) − 5 x 2 1 d x = 2 ln 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 2 1 f ( x ) − 5 x 2 d x = ∫ 0 2 1 2 x + 1 d x = 1 2 ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) ′ 2 x + 1 d x = 1 2 ln ( 2 x + 1 ) ∣ 0 2 = \displaystyle\int_0^2\dfrac{1}{f(x)-5x^2}\,dx=\int_0^2\dfrac{1}{2x+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_0^2\dfrac{(2x+1)'}{2x+1}\,dx=\left.\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\right|_0^2= ∫ 0 2 f ( x ) − 5 x 2 1 d x = ∫ 0 2 2 x + 1 1 d x = 2 1 ∫ 0 2 2 x + 1 ( 2 x + 1 ) ′ d x = 2 1 ln ( 2 x + 1 ) 0 2 = 3p = ln 5 2 − ln 1 2 = ln 5 2 =\dfrac{\ln 5}{2}-\dfrac{\ln 1}{2}=\dfrac{\ln 5}{2} = 2 ln 5 − 2 ln 1 = 2 ln 5 2p
c) · 5p
Determinați primitiva G : ( 0 , + ∞ ) → R G:(0,+\infty)\to\mathbb{R} G : ( 0 , + ∞ ) → R g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb{R} g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( x ) − 2 x x g(x)=\dfrac{f(x)-2x}{\sqrt{x}} g ( x ) = x f ( x ) − 2 x G ( 1 ) = 5 G(1)=5 G ( 1 ) = 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte g ( x ) = 5 x x + 1 x g(x)=5x\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} g ( x ) = 5 x x + x 1 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) ∫ g ( x ) d x = ∫ ( 5 x x + 1 x ) d x = 2 x 2 x + 2 x + C \displaystyle\int g(x)\,dx=\int\left(5x\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=2x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+\mathcal{C} ∫ g ( x ) d x = ∫ ( 5 x x + x 1 ) d x = 2 x 2 x + 2 x + C G ( x ) = 2 x 2 x + 2 x + c G(x)=2x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+c G ( x ) = 2 x 2 x + 2 x + c c c c 3p G ( 1 ) = 5 ⇒ c = 1 G(1)=5\Rightarrow c=1 G ( 1 ) = 5 ⇒ c = 1 G ( x ) = 2 x 2 x + 2 x + 1 G(x)=2x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+1 G ( x ) = 2 x 2 x + 2 x + 1 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M3 Toate subiectele →