Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Arătați că 1 5 ⋅ ( 3 + 1 3 ) + 4 3 = 2 \dfrac{1}{5}\cdot\left(3+\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{4}{3}=2 5 1 ⋅ ( 3 + 3 1 ) + 3 4 = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 1 5 ⋅ ( 3 + 1 3 ) + 4 3 = 1 5 ⋅ 10 3 + 4 3 = \dfrac{1}{5}\cdot\left(3+\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{10}{3}+\dfrac{4}{3}= 5 1 ⋅ ( 3 + 3 1 ) + 3 4 = 5 1 ⋅ 3 10 + 3 4 = 3p = 2 3 + 4 3 = 2 =\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}=2 = 3 2 + 3 4 = 2 2p
Exerciții de același tip: Numere și calcul → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x − 3 f(x)=2x-3 f ( x ) = 2 x − 3 a a a f ( a ) − f ( 4 ) = 4 f(a)-f(4)=4 f ( a ) − f ( 4 ) = 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 4 ) = 5 f(4)=5 f ( 4 ) = 5 f ( a ) = 2 a − 3 f(a)=2a-3 f ( a ) = 2 a − 3 a a a 3p 2 a − 3 − 5 = 4 2a-3-5=4 2 a − 3 − 5 = 4 a = 6 a=6 a = 6 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 4 · 5p
După o scumpire cu 20 % 20\% 20% 48 48 48
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x + 20 100 ⋅ x = 48 x+\dfrac{20}{100}\cdot x=48 x + 100 20 ⋅ x = 48 x x x 3p x = 40 x=40 x = 40 2p
Exerciții de același tip: Procente și probabilități → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 2 , 5 ) A(2,5) A ( 2 , 5 ) B ( 6 , 8 ) B(6,8) B ( 6 , 8 ) O B = 2 A B OB=2AB OB = 2 A B
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte O B = 10 OB=10 OB = 10 2p A B = 5 AB=5 A B = 5 O B = 2 ⋅ 5 = 2 A B OB=2\cdot 5=2AB OB = 2 ⋅ 5 = 2 A B 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 4 AB=4 A B = 4 B C = 6 BC=6 BC = 6 A B C ABC A BC 4 5 4\sqrt{5} 4 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A C = 2 5 AC=2\sqrt{5} A C = 2 5 3p A Δ A B C = A B ⋅ A C 2 = 4 ⋅ 2 5 2 = 4 5 \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{4\cdot 2\sqrt{5}}{2}=4\sqrt{5} A Δ A BC = 2 A B ⋅ A C = 2 4 ⋅ 2 5 = 4 5 2p
Exerciții de același tip: Geometrie și trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − 1 3 a − 3 3 a − 2 ) A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a-1 \\ 3a-3 & 3a-2 \end{pmatrix} A ( a ) = ( 1 3 a − 3 a − 1 3 a − 2 ) a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 1 \det\big(A(2)\big)=1 det ( A ( 2 ) ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 2 ) = ( 1 1 3 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 1 1 3 4 ∣ = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = A(2)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(2)\big)=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-1\cdot 3= A ( 2 ) = ( 1 3 1 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 1 3 1 4 = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = 3p = 4 − 3 = 1 =4-3=1 = 4 − 3 = 1 2p
b) · 5p
Arătați că 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 ) 2A(2)+A(5)=3A(3) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 5 ) = ( 1 4 12 13 ) A(5)=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 12 & 13 \end{pmatrix} A ( 5 ) = ( 1 12 4 13 ) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 6 18 21 ) = 2A(2)+A(5)=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}= 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 18 6 21 ) = 3p = 3 ( 1 2 6 7 ) = 3 A ( 3 ) =3\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}=3A(3) = 3 ( 1 6 2 7 ) = 3 A ( 3 ) 2p
c) · 5p
Determinați matricea X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) X ∈ M 2 ( R ) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 ) 2X\cdot A(2)-A(2)=A(6) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) 2X\cdot A(2)=A(6)+A(2) 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) det ( A ( 2 ) ) ≠ 0 \det\big(A(2)\big)\ne 0 det ( A ( 2 ) ) = 0 X = 1 2 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 X=\dfrac{1}{2}\big(A(6)+A(2)\big)\cdot\big(A(2)\big)^{-1} X = 2 1 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 2p ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 1 − 3 1 ) \big(A(2)\big)^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 3 − 1 1 ) A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 6 18 20 ) A(6)+A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 18 & 20 \end{pmatrix} A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 18 6 20 ) X = ( − 5 2 6 1 ) X=\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} X = ( − 5 6 2 1 ) 3p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + m f=X^3-3X^2-2X+m f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + m m m m
a) · 5p
Pentru m = 9 m=9 m = 9 f ( − 1 ) = 7 f(-1)=7 f ( − 1 ) = 7
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 9 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 9 = f=X^3-3X^2-2X+9\Rightarrow f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-2(-1)+9= f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 9 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 9 = 3p = − 1 − 3 + 2 + 9 = 7 =-1-3+2+9=7 = − 1 − 3 + 2 + 9 = 7 2p
b) · 5p
Determinați numărul real m m m 2 2 2 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 2 ) = − 8 + m f(2)=-8+m f ( 2 ) = − 8 + m m m m 3p − 8 + m = 0 -8+m=0 − 8 + m = 0 m = 8 m=8 m = 8 2p
c) · 5p
Știind că restul împărțirii polinomului f f f g = X − 4 g=X-4 g = X − 4 14 14 14 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 4 ) = 14 f(4)=14 f ( 4 ) = 14 m = 6 m=6 m = 6 f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 6 = ( X − 3 ) ( X 2 − 2 ) f=X^3-3X^2-2X+6=(X-3)\left(X^2-2\right) f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 6 = ( X − 3 ) ( X 2 − 2 ) 2p Rădăcinile polinomului f f f x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 x 2 = − 2 x_2=-\sqrt{2} x 2 = − 2 x 3 = 2 x_3=\sqrt{2} x 3 = 2 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( − 3 , + ∞ ) → R f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 3 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 5 x + 3 f(x)=\dfrac{x^2-5}{x+3} f ( x ) = x + 3 x 2 − 5
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = x 2 + 6 x + 5 ( x + 3 ) 2 f'(x)=\dfrac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 x 2 + 6 x + 5 x ∈ ( − 3 , + ∞ ) x\in(-3,+\infty) x ∈ ( − 3 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x + 3 ) ′ ( x + 3 ) 2 = f'(x)=\dfrac{\left(x^2-5\right)'\cdot(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot(x+3)'}{(x+3)^2}= f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x + 3 ) ′ = 2p = 2 x ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 ( x + 3 ) 2 = x 2 + 6 x + 5 ( x + 3 ) 2 =\dfrac{2x(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot 1}{(x+3)^2}=\dfrac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} = ( x + 3 ) 2 2 x ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 = ( x + 3 ) 2 x 2 + 6 x + 5 x ∈ ( − 3 , + ∞ ) x\in(-3,+\infty) x ∈ ( − 3 , + ∞ ) 3p
b) · 5p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = − 1 x=-1 x = − 1 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( − 1 ) = − 2 f(-1)=-2 f ( − 1 ) = − 2 f ′ ( − 1 ) = 0 f'(-1)=0 f ′ ( − 1 ) = 0 2p Ecuația tangentei este y − f ( − 1 ) = f ′ ( − 1 ) ( x + 1 ) y-f(-1)=f'(-1)(x+1) y − f ( − 1 ) = f ′ ( − 1 ) ( x + 1 ) y = − 2 y=-2 y = − 2 3p
c) · 5p
Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ x 2 − 5 x ( x + 3 ) = lim x → + ∞ 1 − 5 x 2 1 + 3 x = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-5}{x(x+3)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=1 x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim x ( x + 3 ) x 2 − 5 = x → + ∞ lim 1 + x 3 1 − x 2 5 = 1 2p lim x → + ∞ ( f ( x ) − x ) = lim x → + ∞ − 5 − 3 x x + 3 = lim x → + ∞ − 5 x − 3 1 + 3 x = − 3 \lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-5-3x}{x+3}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-\frac{5}{x}-3}{1+\frac{3}{x}}=-3 x → + ∞ lim ( f ( x ) − x ) = x → + ∞ lim x + 3 − 5 − 3 x = x → + ∞ lim 1 + x 3 − x 5 − 3 = − 3 y = x − 3 y=x-3 y = x − 3 f f f 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : ( − 2 , + ∞ ) → R f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 2 , + ∞ ) → R f ( x ) = e x x + 2 f(x)=\dfrac{e^x}{x+2} f ( x ) = x + 2 e x
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = e − 1 \displaystyle\int_0^1(x+2)\cdot f(x)\,dx=e-1 ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = e − 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x d x = e x ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1(x+2)\cdot f(x)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1= ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x d x = e x ∣ 0 1 = 3p = e 1 − e 0 = e − 1 =e^1-e^0=e-1 = e 1 − e 0 = e − 1 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 6 f ( x ) e x d x = 2 ln 2 \displaystyle\int_0^6\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=2\ln 2 ∫ 0 6 e x f ( x ) d x = 2 ln 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 6 f ( x ) e x d x = ∫ 0 6 ( x + 2 ) ′ x + 2 d x = ln ( x + 2 ) ∣ 0 6 = \displaystyle\int_0^6\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^6\dfrac{(x+2)'}{x+2}\,dx=\left.\ln(x+2)\right|_0^6= ∫ 0 6 e x f ( x ) d x = ∫ 0 6 x + 2 ( x + 2 ) ′ d x = ln ( x + 2 ) ∣ 0 6 = 3p = ln 8 − ln 2 = 2 ln 2 =\ln 8-\ln 2=2\ln 2 = ln 8 − ln 2 = 2 ln 2 2p
c) · 5p
Determinați numărul real a a a ∫ 0 1 ( a − 1 f ( x ) ) d x = 4 e \displaystyle\int_0^1\left(a-\dfrac{1}{f(x)}\right)dx=\dfrac{4}{e} ∫ 0 1 ( a − f ( x ) 1 ) d x = e 4
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 ( a − 1 f ( x ) ) d x = a x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 2 ) e − x d x = a − ∫ 0 1 ( x + 2 ) ( − e − x ) ′ d x = a + ( x + 2 ) e − x ∣ 0 1 + e − x ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1\left(a-\dfrac{1}{f(x)}\right)dx=\left.ax\right|_0^1-\int_0^1(x+2)e^{-x}\,dx=a-\int_0^1(x+2)\left(-e^{-x}\right)'dx=a+\left.(x+2)e^{-x}\right|_0^1+\left.e^{-x}\right|_0^1= ∫ 0 1 ( a − f ( x ) 1 ) d x = a x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 2 ) e − x d x = a − ∫ 0 1 ( x + 2 ) ( − e − x ) ′ d x = a + ( x + 2 ) e − x 0 1 + e − x 0 1 = 3p = a − 3 + 4 e =a-3+\dfrac{4}{e} = a − 3 + e 4 a − 3 + 4 e = 4 e a-3+\dfrac{4}{e}=\dfrac{4}{e} a − 3 + e 4 = e 4 a = 3 a=3 a = 3 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M3 Toate subiectele →