Sari la conținut

MateSim

Derivate și studiul funcțiilor · Bac M3

Derivate și studiul funcțiilor la bac mate M3 (Subiectul al III-lea, problema 1): ce se dă de obicei (limite și continuitate, derivate, monotonie, extreme, asimptote, convexitate) și exerciții oficiale rezolvate după barem.

La bac la matematică M3, Subiectul al III-lea · Problema 1 este mereu despre derivate și studiul funcțiilor. Cel mai des apar: limite și continuitate, derivate, monotonie, extreme, asimptote, convexitate. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.

78de cerințe oficiale pe MateSim

26de lucrări, 2022–2027

Problema 1Subiectul al III-lea

Cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și verificare cu AI.

Rezolvă toate cele 78 de exerciții →

Formulele capitolului

Definițiile, teoremele și formulele de care ai nevoie: Derivate și studiul funcțiilor: formule.

Exerciții oficiale, cu barem

Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M3 (tehnologic) · Subiectul al III-lea, problema 1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=(3-2x)e^x-3$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x)=(1-2x)e^x$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x)=(3-2x)'e^x+(3-2x)\left(e^x\right)'-3'=$	2p
$=-2e^x+(3-2x)e^x=(1-2x)e^x$ , $x\in\mathbb{R}$	3p

b) · 5p

Arătați că $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x+x^2}{f(x)}=1$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x+x^2}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\left(x+x^2\right)'}{f'(x)}=$	3p
$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+2x}{(1-2x)e^x}=1$	2p

c) · 5p

Demonstrați că $(3-2x)e^x\le 2\sqrt{e}$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ ; pentru orice $x\in\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right]$ , $f'(x)\ge 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right]$ și, pentru orice $x\in\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ , $f'(x)\le 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$	3p
$f(x)\le f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , pentru orice $x\in\mathbb{R}$ și, cum $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\sqrt{e}-3$ , obținem $(3-2x)e^x\le 2\sqrt{e}$ , pentru orice număr real $x$	2p

Bacalaureat 2026 la matematică M3 (tehnologic): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al III-lea, problema 1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x)=12x(x+1)(x-2)$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x)=12x^3-12x^2-24x=$	3p
$=12x\left(x^2-x-2\right)=12x(x+1)(x-2)$ , $x\in\mathbb{R}$	2p

b) · 5p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(0)=-1$ , $f'(0)=0$	2p
Ecuația tangentei este $y-f(0)=f'(0)(x-0)$ , adică $y=-1$	3p

c) · 5p

Demonstrați că $3x^4+5\ge 4x^3+12x^2$ , pentru orice $x\in(-\infty,0]$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Pentru $x\in(-\infty,0]$ , $f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ sau $x=0$ ; pentru orice $x\in(-\infty,-1]$ , $f'(x)\le 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty,-1]$ și, pentru orice $x\in[-1,0]$ , $f'(x)\ge 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[-1,0]$	3p
$f(x)\ge f(-1)$ , pentru orice $x\in(-\infty,0]$ și, cum $f(-1)=-6$ , obținem $3x^4+5\ge 4x^3+12x^2$ , pentru orice $x\in(-\infty,0]$	2p

Bacalaureat 2026 la matematică M3 (tehnologic): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al III-lea, problema 1

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{x^2-5}{x+3}$ .

a) · 5p

Arătați că $f'(x)=\dfrac{x^2+6x+5}{(x+3)^2}$ , $x\in(-3,+\infty)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f'(x)=\dfrac{\left(x^2-5\right)'\cdot(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot(x+3)'}{(x+3)^2}=$	2p
$=\dfrac{2x(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot 1}{(x+3)^2}=\dfrac{x^2+6x+5}{(x+3)^2}$ , $x\in(-3,+\infty)$	3p

b) · 5p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=-1$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$f(-1)=-2$ , $f'(-1)=0$	2p
Ecuația tangentei este $y-f(-1)=f'(-1)(x+1)$ , adică $y=-2$	3p

c) · 5p

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-5}{x(x+3)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=1$	2p
$\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-5-3x}{x+3}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-\frac{5}{x}-3}{1+\frac{3}{x}}=-3$ , deci dreapta de ecuație $y=x-3$ este asimptota oblică la graficul funcției $f$	3p

Celelalte poziții Bac M3