La bac la matematică M3, Subiectul al II-lea · Problema 1 este mereu despre matrice și determinanți. Cel mai des apar: operații cu matrice, determinanți, ecuații matriceale. Pentru că poziția se repetă în fiecare an, cel mai repede înveți rezolvând la rând exercițiile date pe ea.
78 de cerințe oficiale pe MateSim
26 de lucrări, 2022–2027
Problema 1 Subiectul al II-lea
Exerciții oficiale, cu barem Modelul de subiect pentru bacul 2027 la matematică M3 (tehnologic) · Subiectul al II-lea, problema 1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 2 − 1 − 1 1 ) A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} A = ( 2 − 1 − 1 1 ) B ( x ) = ( 2 x 2 x − 2 x + 2 ) B(x)=\begin{pmatrix} 2 & x \\ 2x-2 & x+2 \end{pmatrix} B ( x ) = ( 2 2 x − 2 x x + 2 ) x x x
a) · 5p
Arătați că det ( B ( 1 ) ) = 6 \det\big(B(1)\big)=6 det ( B ( 1 ) ) = 6
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte B ( 1 ) = ( 2 1 0 3 ) ⇒ det ( B ( 1 ) ) = ∣ 2 1 0 3 ∣ = 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 0 = B(1)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(B(1)\big)=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot 3-1\cdot 0= B ( 1 ) = ( 2 0 1 3 ) ⇒ det ( B ( 1 ) ) = 2 0 1 3 = 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 0 = 3p = 6 − 0 = 6 =6-0=6 = 6 − 0 = 6 2p
b) · 5p
Determinați numărul real a a a 2 A + B ( 2 ) = a I 2 2A+B(2)=aI_2 2 A + B ( 2 ) = a I 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte B ( 2 ) = ( 2 2 2 4 ) B(2)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} B ( 2 ) = ( 2 2 2 4 ) 2 A + B ( 2 ) = ( 6 0 0 6 ) = 6 I 2 2A+B(2)=\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}=6I_2 2 A + B ( 2 ) = ( 6 0 0 6 ) = 6 I 2 3p a I 2 = 6 I 2 aI_2=6I_2 a I 2 = 6 I 2 a = 6 a=6 a = 6 2p
c) · 5p
Demonstrați că det ( B ( x ) ⋅ A − x I 2 ) ≥ 0 \det\big(B(x)\cdot A-xI_2\big)\ge 0 det ( B ( x ) ⋅ A − x I 2 ) ≥ 0 x x x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte B ( x ) ⋅ A − x I 2 = ( 4 − 2 x x − 2 3 x − 6 − 2 x + 4 ) B(x)\cdot A-xI_2=\begin{pmatrix} 4-2x & x-2 \\ 3x-6 & -2x+4 \end{pmatrix} B ( x ) ⋅ A − x I 2 = ( 4 − 2 x 3 x − 6 x − 2 − 2 x + 4 ) det ( B ( x ) ⋅ A − x I 2 ) = ( 4 − 2 x ) ( − 2 x + 4 ) − ( 3 x − 6 ) ( x − 2 ) = \det\big(B(x)\cdot A-xI_2\big)=(4-2x)(-2x+4)-(3x-6)(x-2)= det ( B ( x ) ⋅ A − x I 2 ) = ( 4 − 2 x ) ( − 2 x + 4 ) − ( 3 x − 6 ) ( x − 2 ) = 3p = 4 ( x − 2 ) 2 − 3 ( x − 2 ) 2 = ( x − 2 ) 2 ≥ 0 =4(x-2)^2-3(x-2)^2=(x-2)^2\ge 0 = 4 ( x − 2 ) 2 − 3 ( x − 2 ) 2 = ( x − 2 ) 2 ≥ 0 x x x 2p
Bacalaureat 2026 la matematică M3 (tehnologic): sesiunea din iunie, varianta 3 · Subiectul al II-lea, problema 1
Se consideră matricea A ( x ) = ( x 1 x − 1 2 ) A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ x-1 & 2 \end{pmatrix} A ( x ) = ( x x − 1 1 2 ) x x x
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 4 ) ) = 5 \det\big(A(4)\big)=5 det ( A ( 4 ) ) = 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 4 ) = ( 4 1 3 2 ) ⇒ det ( A ( 4 ) ) = ∣ 4 1 3 2 ∣ = 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 = A(4)=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(4)\big)=\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=4\cdot 2-1\cdot 3= A ( 4 ) = ( 4 3 1 2 ) ⇒ det ( A ( 4 ) ) = 4 3 1 2 = 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 = 3p = 8 − 3 = 5 =8-3=5 = 8 − 3 = 5 2p
b) · 5p
Arătați că 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = 3 A ( 2 ) 2A(1)+A(4)=3A(2) 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = 3 A ( 2 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 1 ) = ( 1 1 0 2 ) A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} A ( 1 ) = ( 1 0 1 2 ) 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = ( 6 3 3 6 ) = 2A(1)+A(4)=\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}= 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = ( 6 3 3 6 ) = 3p = 3 ( 2 1 1 2 ) = 3 A ( 2 ) =3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=3A(2) = 3 ( 2 1 1 2 ) = 3 A ( 2 ) 2p
c) · 5p
Determinați numerele reale x x x y y y A ( − x ) ⋅ A ( x ) = A ( y ) A(-x)\cdot A(x)=A(y) A ( − x ) ⋅ A ( x ) = A ( y )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( − x ) = ( − x 1 − x − 1 2 ) A(-x)=\begin{pmatrix} -x & 1 \\ -x-1 & 2 \end{pmatrix} A ( − x ) = ( − x − x − 1 1 2 ) A ( − x ) ⋅ A ( x ) = ( − x 2 + x − 1 − x + 2 − x 2 + x − 2 − x + 3 ) A(-x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix} -x^2+x-1 & -x+2 \\ -x^2+x-2 & -x+3 \end{pmatrix} A ( − x ) ⋅ A ( x ) = ( − x 2 + x − 1 − x 2 + x − 2 − x + 2 − x + 3 ) x x x 3p ( − x 2 + x − 1 − x + 2 − x 2 + x − 2 − x + 3 ) = ( y 1 y − 1 2 ) \begin{pmatrix} -x^2+x-1 & -x+2 \\ -x^2+x-2 & -x+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y & 1 \\ y-1 & 2 \end{pmatrix} ( − x 2 + x − 1 − x 2 + x − 2 − x + 2 − x + 3 ) = ( y y − 1 1 2 ) x = 1 x=1 x = 1 y = − 1 y=-1 y = − 1 2p
Bacalaureat 2026 la matematică M3 (tehnologic): sesiunea din august, varianta 4 · Subiectul al II-lea, problema 1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − 1 3 a − 3 3 a − 2 ) A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a-1 \\ 3a-3 & 3a-2 \end{pmatrix} A ( a ) = ( 1 3 a − 3 a − 1 3 a − 2 ) a a a
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 1 \det\big(A(2)\big)=1 det ( A ( 2 ) ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 2 ) = ( 1 1 3 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 1 1 3 4 ∣ = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = A(2)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(2)\big)=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-1\cdot 3= A ( 2 ) = ( 1 3 1 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 1 3 1 4 = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = 3p = 4 − 3 = 1 =4-3=1 = 4 − 3 = 1 2p
b) · 5p
Arătați că 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 ) 2A(2)+A(5)=3A(3) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 5 ) = ( 1 4 12 13 ) A(5)=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 12 & 13 \end{pmatrix} A ( 5 ) = ( 1 12 4 13 ) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 6 18 21 ) = 2A(2)+A(5)=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}= 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 18 6 21 ) = 3p = 3 ( 1 2 6 7 ) = 3 A ( 3 ) =3\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}=3A(3) = 3 ( 1 6 2 7 ) = 3 A ( 3 ) 2p
c) · 5p
Determinați matricea X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) X ∈ M 2 ( R ) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 ) 2X\cdot A(2)-A(2)=A(6) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) 2X\cdot A(2)=A(6)+A(2) 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) det ( A ( 2 ) ) ≠ 0 \det\big(A(2)\big)\ne 0 det ( A ( 2 ) ) = 0 X = 1 2 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 X=\dfrac{1}{2}\big(A(6)+A(2)\big)\cdot\big(A(2)\big)^{-1} X = 2 1 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 2p ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 1 − 3 1 ) \big(A(2)\big)^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 3 − 1 1 ) A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 6 18 20 ) A(6)+A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 18 & 20 \end{pmatrix} A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 18 6 20 ) X = ( − 5 2 6 1 ) X=\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} X = ( − 5 6 2 1 ) 3p
Celelalte poziții Bac M3