Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Determinați termenul a 3 a_3 a 3 ( a n ) n ≥ 1 (a_n)_{n\ge 1} ( a n ) n ≥ 1 a 1 = 3 a_1=3 a 1 = 3 a 2 = 9 a_2=9 a 2 = 9
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte r = a 2 − a 1 = 6 r=a_2-a_1=6 r = a 2 − a 1 = 6 r r r 3p a 3 = a 2 + r = 15 a_3=a_2+r=15 a 3 = a 2 + r = 15 2p
Exerciții de același tip: Numere și calcul → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 3 x − 5 f(x)=3x-5 f ( x ) = 3 x − 5 f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 0 f(3)+f(2)+f(0)=0 f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 3 ) = 4 f(3)=4 f ( 3 ) = 4 f ( 2 ) = 1 f(2)=1 f ( 2 ) = 1 f ( 0 ) = − 5 f(0)=-5 f ( 0 ) = − 5 3p f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 4 + 1 − 5 = 0 f(3)+f(2)+f(0)=4+1-5=0 f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 4 + 1 − 5 = 0 2p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 4 · 5p
După o ieftinire cu 30 % 30\% 30% 56 56 56
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x − 30 100 ⋅ x = 56 x-\dfrac{30}{100}\cdot x=56 x − 100 30 ⋅ x = 56 x x x 3p x = 80 x=80 x = 80 2p
Exerciții de același tip: Procente și probabilități → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 0 , 1 ) A(0,1) A ( 0 , 1 ) B ( 5 , 6 ) B(5,6) B ( 5 , 6 ) C ( 7 , 2 ) C(7,2) C ( 7 , 2 ) A B = A C AB=AC A B = A C
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A B = 5 2 + 5 2 = 5 2 AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2} A B = 5 2 + 5 2 = 5 2 2p A C = 7 2 + 1 2 = 5 2 AC=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2} A C = 7 2 + 1 2 = 5 2 A B = A C AB=AC A B = A C 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Arătați că ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = 1 \left(\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ\right)\cdot\left(\sin 45^\circ\right)^2=1 ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte sin 3 0 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 6 0 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 4 5 ∘ = 2 2 \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = 2 2 3p ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = ( 1 2 + 3 2 ) ⋅ ( 2 2 ) 2 = 2 ⋅ 1 2 = 1 \left(\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ\right)\cdot\left(\sin 45^\circ\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\cdot\dfrac{1}{2}=1 ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = ( 2 1 + 2 3 ) ⋅ ( 2 2 ) 2 = 2 ⋅ 2 1 = 1 2p
Exerciții de același tip: Geometrie și trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 1 2 − 2 1 ) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} A = ( 1 − 2 2 1 ) B ( x ) = ( 2 x − 1 2 x ) B(x)=\begin{pmatrix} 2 & x \\ -1 & 2x \end{pmatrix} B ( x ) = ( 2 − 1 x 2 x ) x x x
a) · 5p
Arătați că det A = 5 \det A=5 det A = 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det A = ∣ 1 2 − 2 1 ∣ = 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ ( − 2 ) = \det A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot 1-2\cdot(-2)= det A = 1 − 2 2 1 = 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ ( − 2 ) = 3p = 1 + 4 = 5 =1+4=5 = 1 + 4 = 5 2p
b) · 5p
Arătați că A + 3 I 2 = 2 B ( 1 ) A+3I_2=2B(1) A + 3 I 2 = 2 B ( 1 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A + 3 I 2 = ( 1 2 − 2 1 ) + ( 3 0 0 3 ) = ( 4 2 − 2 4 ) = A+3I_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}= A + 3 I 2 = ( 1 − 2 2 1 ) + ( 3 0 0 3 ) = ( 4 − 2 2 4 ) = 3p = 2 ( 2 1 − 1 2 ) = 2 B ( 1 ) =2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}=2B(1) = 2 ( 2 − 1 1 2 ) = 2 B ( 1 ) 2p
c) · 5p
Determinați numerele reale x x x det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = x 2 \det\big(B(2x)-B(x)\cdot A\big)=x^2 det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = x 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte B ( 2 x ) = ( 2 2 x − 1 4 x ) B(2x)=\begin{pmatrix} 2 & 2x \\ -1 & 4x \end{pmatrix} B ( 2 x ) = ( 2 − 1 2 x 4 x ) B ( x ) ⋅ A = ( 2 − 2 x 4 + x − 1 − 4 x − 2 + 2 x ) B(x)\cdot A=\begin{pmatrix} 2-2x & 4+x \\ -1-4x & -2+2x \end{pmatrix} B ( x ) ⋅ A = ( 2 − 2 x − 1 − 4 x 4 + x − 2 + 2 x ) B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A = ( 2 x x − 4 4 x 2 x + 2 ) B(2x)-B(x)\cdot A=\begin{pmatrix} 2x & x-4 \\ 4x & 2x+2 \end{pmatrix} B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A = ( 2 x 4 x x − 4 2 x + 2 ) det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = 20 x \det\big(B(2x)-B(x)\cdot A\big)=20x det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = 20 x x x x 3p 20 x = x 2 20x=x^2 20 x = x 2 x = 0 x=0 x = 0 x = 20 x=20 x = 20 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x y − 8 x − 8 y + 8 x*y=xy-8x-8y+8 x ∗ y = x y − 8 x − 8 y + 8
a) · 5p
Arătați că 0 ∗ 1 = 0 0*1=0 0 ∗ 1 = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 0 ∗ 1 = 0 ⋅ 1 − 8 ⋅ 0 − 8 ⋅ 1 + 8 = 0*1=0\cdot 1-8\cdot 0-8\cdot 1+8= 0 ∗ 1 = 0 ⋅ 1 − 8 ⋅ 0 − 8 ⋅ 1 + 8 = 3p = 0 − 0 − 8 + 8 = 0 =0-0-8+8=0 = 0 − 0 − 8 + 8 = 0 2p
b) · 5p
Determinați numărul real x x x x ∗ 2 = 2 x x*2=2x x ∗ 2 = 2 x
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x ∗ 2 = − 6 x − 8 x*2=-6x-8 x ∗ 2 = − 6 x − 8 x x x 3p − 6 x − 8 = 2 x -6x-8=2x − 6 x − 8 = 2 x x = − 1 x=-1 x = − 1 2p
c) · 5p
Determinați perechile ( m , n ) (m,n) ( m , n ) m < n m<n m < n ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = 2 (8+m)*(8+n)=2 ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = m n − 56 (8+m)*(8+n)=mn-56 ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = mn − 56 m m m n n n 2p m n − 56 = 2 ⇔ m n = 58 mn-56=2\Leftrightarrow mn=58 mn − 56 = 2 ⇔ mn = 58 m m m n n n m < n m<n m < n ( 1 , 58 ) (1,58) ( 1 , 58 ) ( 2 , 29 ) (2,29) ( 2 , 29 ) 3p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( − 4 , + ∞ ) → R f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 4 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x + 7 x + 4 f(x)=\dfrac{4x+7}{x+4} f ( x ) = x + 4 4 x + 7
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 9 ( x + 4 ) 2 f'(x)=\dfrac{9}{(x+4)^2} f ′ ( x ) = ( x + 4 ) 2 9 x ∈ ( − 4 , + ∞ ) x\in(-4,+\infty) x ∈ ( − 4 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 4 ( x + 4 ) − ( 4 x + 7 ) ( x + 4 ) 2 = f'(x)=\dfrac{4(x+4)-(4x+7)}{(x+4)^2}= f ′ ( x ) = ( x + 4 ) 2 4 ( x + 4 ) − ( 4 x + 7 ) = 3p = 4 x + 16 − 4 x − 7 ( x + 4 ) 2 = 9 ( x + 4 ) 2 =\dfrac{4x+16-4x-7}{(x+4)^2}=\dfrac{9}{(x+4)^2} = ( x + 4 ) 2 4 x + 16 − 4 x − 7 = ( x + 4 ) 2 9 x ∈ ( − 4 , + ∞ ) x\in(-4,+\infty) x ∈ ( − 4 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ 4 x + 7 x + 4 = lim x → + ∞ 4 + 7 x 1 + 4 x = 4 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x+7}{x+4}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4+\frac{7}{x}}{1+\frac{4}{x}}=4 x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x + 4 4 x + 7 = x → + ∞ lim 1 + x 4 4 + x 7 = 4 3p Dreapta de ecuație y = 4 y=4 y = 4 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2p
c) · 5p
Determinați a ∈ ( − 4 , + ∞ ) a\in(-4,+\infty) a ∈ ( − 4 , + ∞ ) f f f A ( a , f ( a ) ) A\big(a,f(a)\big) A ( a , f ( a ) ) 1 1 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( a ) = 1 f'(a)=1 f ′ ( a ) = 1 2p 9 ( a + 4 ) 2 = 1 \dfrac{9}{(a+4)^2}=1 ( a + 4 ) 2 9 = 1 ( a + 4 ) 2 = 9 (a+4)^2=9 ( a + 4 ) 2 = 9 a ∈ ( − 4 , + ∞ ) a\in(-4,+\infty) a ∈ ( − 4 , + ∞ ) a = − 1 a=-1 a = − 1 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : ( − 3 , + ∞ ) → R f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 3 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x + x + 3 f(x)=2x+\sqrt{x+3} f ( x ) = 2 x + x + 3
a) · 5p
Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = 3 \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\sqrt{x+3}\right)dx=3 ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = ∫ 1 2 2 x d x = x 2 ∣ 1 2 = \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\sqrt{x+3}\right)dx=\int_1^2 2x\,dx=\left.x^2\right|_1^2= ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = ∫ 1 2 2 x d x = x 2 1 2 = 3p = 4 − 1 = 3 =4-1=3 = 4 − 1 = 3 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 1 6 1 f ( x ) − 2 x d x = 2 \displaystyle\int_1^6\dfrac{1}{f(x)-2x}\,dx=2 ∫ 1 6 f ( x ) − 2 x 1 d x = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 6 1 f ( x ) − 2 x d x = ∫ 1 6 1 x + 3 d x = 2 ∫ 1 6 ( x + 3 ) ′ 2 x + 3 d x = 2 x + 3 ∣ 1 6 = \displaystyle\int_1^6\dfrac{1}{f(x)-2x}\,dx=\int_1^6\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}\,dx=2\int_1^6\dfrac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}\,dx=\left.2\sqrt{x+3}\right|_1^6= ∫ 1 6 f ( x ) − 2 x 1 d x = ∫ 1 6 x + 3 1 d x = 2 ∫ 1 6 2 x + 3 ( x + 3 ) ′ d x = 2 x + 3 1 6 = 3p = 6 − 4 = 2 =6-4=2 = 6 − 4 = 2 2p
c) · 5p
Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g : [ 0 , 6 ] → R g:[0,6]\to\mathbb{R} g : [ 0 , 6 ] → R g ( x ) = x f ( x ) − 2 x g(x)=\dfrac{x}{f(x)-2x} g ( x ) = f ( x ) − 2 x x O x Ox O x 9 π ln 3 9\pi\ln 3 9 π ln 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte g ( x ) = x x + 3 g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+3}} g ( x ) = x + 3 x x ∈ [ 0 , 6 ] x\in[0,6] x ∈ [ 0 , 6 ] V = π ∫ 0 6 ( g ( x ) ) 2 d x = π ∫ 0 6 x 2 x + 3 d x = V=\pi\displaystyle\int_0^6\big(g(x)\big)^2dx=\pi\int_0^6\dfrac{x^2}{x+3}\,dx= V = π ∫ 0 6 ( g ( x ) ) 2 d x = π ∫ 0 6 x + 3 x 2 d x = 2p = π ∫ 0 6 ( x − 3 + 9 x + 3 ) d x = π ( x 2 2 ∣ 0 6 − 3 x ∣ 0 6 + 9 ln ( x + 3 ) ∣ 0 6 ) = 9 π ln 3 =\pi\displaystyle\int_0^6\left(x-3+\dfrac{9}{x+3}\right)dx=\pi\left(\left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^6-\left.3x\right|_0^6+\left.9\ln(x+3)\right|_0^6\right)=9\pi\ln 3 = π ∫ 0 6 ( x − 3 + x + 3 9 ) d x = π ( 2 x 2 0 6 − 3 x ∣ 0 6 + 9 ln ( x + 3 ) ∣ 0 6 ) = 9 π ln 3 3p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M3 Toate subiectele →