Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Arătați că 1 10 + 3 ⋅ ( 1 2 − 1 5 ) = 1 \dfrac{1}{10}+3\cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)=1 10 1 + 3 ⋅ ( 2 1 − 5 1 ) = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 1 10 + 3 ⋅ ( 1 2 − 1 5 ) = 1 10 + 3 ⋅ 3 10 = \dfrac{1}{10}+3\cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{1}{10}+3\cdot\dfrac{3}{10}= 10 1 + 3 ⋅ ( 2 1 − 5 1 ) = 10 1 + 3 ⋅ 10 3 = 3p = 1 10 + 9 10 = 1 =\dfrac{1}{10}+\dfrac{9}{10}=1 = 10 1 + 10 9 = 1 2p
Exerciții de același tip: Numere și calcul → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 6 x − 3 f(x)=6x-3 f ( x ) = 6 x − 3 a a a f ( 2 ) = a + f ( 0 ) f(2)=a+f(0) f ( 2 ) = a + f ( 0 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 2 ) = 9 f(2)=9 f ( 2 ) = 9 f ( 0 ) = − 3 f(0)=-3 f ( 0 ) = − 3 2p 9 = a − 3 9=a-3 9 = a − 3 a = 12 a=12 a = 12 3p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 4 · 5p
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n n n A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 6 n > 25 6n>25 6 n > 25
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte Mulțimea A A A 10 10 10 10 10 10 2p În mulțimea A A A 5 5 5 n n n 6 n > 25 6n>25 6 n > 25 5 5 5 p = 5 10 = 1 2 p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2} p = 10 5 = 2 1 3p
Exerciții de același tip: Procente și probabilități → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 2 , 0 ) A(2,0) A ( 2 , 0 ) B ( 2 , 1 ) B(2,1) B ( 2 , 1 ) C ( 6 , 4 ) C(6,4) C ( 6 , 4 ) a a a B C = a ⋅ A B BC=a\cdot AB BC = a ⋅ A B
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte B C = 5 BC=5 BC = 5 2p A B = 1 AB=1 A B = 1 B C = 5 ⋅ A B BC=5\cdot AB BC = 5 ⋅ A B a = 5 a=5 a = 5 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Se consideră triunghiul M N P MNP MNP M M M M N = 4 ⋅ M P MN=4\cdot MP MN = 4 ⋅ MP M N = 8 MN=8 MN = 8 M N P MNP MNP 8 8 8
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte M P = 2 MP=2 MP = 2 2p A Δ M N P = M N ⋅ M P 2 = 8 ⋅ 2 2 = 8 \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\dfrac{MN\cdot MP}{2}=\dfrac{8\cdot 2}{2}=8 A Δ MNP = 2 MN ⋅ MP = 2 8 ⋅ 2 = 8 3p
Exerciții de același tip: Geometrie și trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricele A = ( 5 2 2 1 ) A=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} A = ( 5 2 2 1 ) B = ( 5 3 3 − 1 ) B=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} B = ( 5 3 3 − 1 ) I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 )
a) · 5p
Arătați că det A = 1 \det A=1 det A = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte det A = ∣ 5 2 2 1 ∣ = 5 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 = \det A=\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=5\cdot 1-2\cdot 2= det A = 5 2 2 1 = 5 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 = 3p = 5 − 4 = 1 =5-4=1 = 5 − 4 = 1 2p
b) · 5p
Determinați numărul real x x x 3 A − 5 I 2 = x B 3A-5I_2=xB 3 A − 5 I 2 = x B
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 3 A − 5 I 2 = ( 15 6 6 3 ) − ( 5 0 0 5 ) = ( 10 6 6 − 2 ) = 2 ( 5 3 3 − 1 ) = 2 B 3A-5I_2=\begin{pmatrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}=2B 3 A − 5 I 2 = ( 15 6 6 3 ) − ( 5 0 0 5 ) = ( 10 6 6 − 2 ) = 2 ( 5 3 3 − 1 ) = 2 B 3p 2 B = x B 2B=xB 2 B = x B x = 2 x=2 x = 2 2p
c) · 5p
Determinați mulțimea numerelor reale x x x det ( A ⋅ ( B − A ) + x I 2 ) ≤ 2 \det\big(A\cdot(B-A)+xI_2\big)\le 2 det ( A ⋅ ( B − A ) + x I 2 ) ≤ 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ⋅ ( B − A ) = ( 2 1 1 0 ) A\cdot(B-A)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} A ⋅ ( B − A ) = ( 2 1 1 0 ) A ⋅ ( B − A ) + x I 2 = ( 2 + x 1 1 x ) A\cdot(B-A)+xI_2=\begin{pmatrix} 2+x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix} A ⋅ ( B − A ) + x I 2 = ( 2 + x 1 1 x ) det ( A ⋅ ( B − A ) + x I 2 ) = x 2 + 2 x − 1 \det\big(A\cdot(B-A)+xI_2\big)=x^2+2x-1 det ( A ⋅ ( B − A ) + x I 2 ) = x 2 + 2 x − 1 x x x 3p x 2 + 2 x − 1 ≤ 2 x^2+2x-1\le 2 x 2 + 2 x − 1 ≤ 2 x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 x^2+2x-3\le 0 x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 x ∈ [ − 3 , 1 ] x\in[-3,1] x ∈ [ − 3 , 1 ] 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 + X + m f=X^3-3X^2+X+m f = X 3 − 3 X 2 + X + m m m m
a) · 5p
Pentru m = 1 m=1 m = 1 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f = X 3 − 3 X 2 + X + 1 ⇒ f ( 1 ) = 1 3 − 3 ⋅ 1 2 + 1 + 1 = f=X^3-3X^2+X+1\Rightarrow f(1)=1^3-3\cdot 1^2+1+1= f = X 3 − 3 X 2 + X + 1 ⇒ f ( 1 ) = 1 3 − 3 ⋅ 1 2 + 1 + 1 = 3p = 1 − 3 + 1 + 1 = 0 =1-3+1+1=0 = 1 − 3 + 1 + 1 = 0 2p
b) · 5p
Determinați numărul real m m m 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 + x 1 x 2 x 3 2x_1+2x_2+2x_3=1+x_1x_2x_3 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 + x 1 x 2 x 3 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x 1 + x 2 + x 3 = 3 x_1+x_2+x_3=3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = − m x_1x_2x_3=-m x 1 x 2 x 3 = − m 2 ⋅ 3 = 1 − m 2\cdot 3=1-m 2 ⋅ 3 = 1 − m 3p m = − 5 m=-5 m = − 5 2p
c) · 5p
Știind că restul împărțirii polinomului f f f X − 2 X-2 X − 2 − 5 -5 − 5 f f f X 2 + 1 X^2+1 X 2 + 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 2 ) = − 2 + m f(2)=-2+m f ( 2 ) = − 2 + m − 2 + m = − 5 -2+m=-5 − 2 + m = − 5 m = − 3 m=-3 m = − 3 3p f = X 3 − 3 X 2 + X − 3 = ( X − 3 ) ( X 2 + 1 ) f=X^3-3X^2+X-3=(X-3)\left(X^2+1\right) f = X 3 − 3 X 2 + X − 3 = ( X − 3 ) ( X 2 + 1 ) f f f X 2 + 1 X^2+1 X 2 + 1 2p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x − 2 e x f(x)=\dfrac{x-2}{e^x} f ( x ) = e x x − 2
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 3 − x e x f'(x)=\dfrac{3-x}{e^x} f ′ ( x ) = e x 3 − x x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = e x − ( x − 2 ) e x ( e x ) 2 = f'(x)=\dfrac{e^x-(x-2)e^x}{\left(e^x\right)^2}= f ′ ( x ) = ( e x ) 2 e x − ( x − 2 ) e x = 3p = e x ( 1 − x + 2 ) ( e x ) 2 = 3 − x e x =\dfrac{e^x(1-x+2)}{\left(e^x\right)^2}=\dfrac{3-x}{e^x} = ( e x ) 2 e x ( 1 − x + 2 ) = e x 3 − x x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 2p
b) · 5p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 0 x=0 x = 0 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 0 ) = − 2 f(0)=-2 f ( 0 ) = − 2 f ′ ( 0 ) = 3 f'(0)=3 f ′ ( 0 ) = 3 2p Ecuația tangentei este y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y-f(0)=f'(0)(x-0) y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = 3 x − 2 y=3x-2 y = 3 x − 2 3p
c) · 5p
Demonstrați că − e x − 1 ≤ x − 2 ≤ e x − 3 -e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3} − e x − 1 ≤ x − 2 ≤ e x − 3 x ∈ [ 1 , 4 ] x\in[1,4] x ∈ [ 1 , 4 ]
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 3 f'(x)=0\Leftrightarrow x=3 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 3 x ∈ [ 1 , 3 ] x\in[1,3] x ∈ [ 1 , 3 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , 3 ] [1,3] [ 1 , 3 ] x ∈ [ 3 , 4 ] x\in[3,4] x ∈ [ 3 , 4 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ 3 , 4 ] [3,4] [ 3 , 4 ] 2p f ( 1 ) = − 1 e f(1)=-\dfrac{1}{e} f ( 1 ) = − e 1 f ( 3 ) = 1 e 3 f(3)=\dfrac{1}{e^3} f ( 3 ) = e 3 1 f ( 4 ) = 2 e 4 f(4)=\dfrac{2}{e^4} f ( 4 ) = e 4 2 − 1 e ≤ f ( x ) ≤ 1 e 3 -\dfrac{1}{e}\le f(x)\le\dfrac{1}{e^3} − e 1 ≤ f ( x ) ≤ e 3 1 x ∈ [ 1 , 4 ] x\in[1,4] x ∈ [ 1 , 4 ] − e x − 1 ≤ x − 2 ≤ e x − 3 -e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3} − e x − 1 ≤ x − 2 ≤ e x − 3 x ∈ [ 1 , 4 ] x\in[1,4] x ∈ [ 1 , 4 ] 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 + 4 x + 8 f(x)=x^2+4x+8 f ( x ) = x 2 + 4 x + 8
a) · 5p
Arătați că ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 2 − 8 ) d x = 2 \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-x^2-8\right)dx=2 ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 2 − 8 ) d x = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 2 − 8 ) d x = ∫ 0 1 4 x d x = 2 x 2 ∣ 0 1 = \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-x^2-8\right)dx=\int_0^1 4x\,dx=\left.2x^2\right|_0^1= ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 2 − 8 ) d x = ∫ 0 1 4 x d x = 2 x 2 0 1 = 3p = 2 − 0 = 2 =2-0=2 = 2 − 0 = 2 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 0 8 x f ( x ) − 4 x d x = ln 3 \displaystyle\int_0^8\dfrac{x}{f(x)-4x}\,dx=\ln 3 ∫ 0 8 f ( x ) − 4 x x d x = ln 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 8 x f ( x ) − 4 x d x = ∫ 0 8 x x 2 + 8 d x = 1 2 ∫ 0 8 ( x 2 + 8 ) ′ x 2 + 8 d x = 1 2 ln ( x 2 + 8 ) ∣ 0 8 = \displaystyle\int_0^8\dfrac{x}{f(x)-4x}\,dx=\int_0^8\dfrac{x}{x^2+8}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_0^8\dfrac{\left(x^2+8\right)'}{x^2+8}\,dx=\left.\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+8\right)\right|_0^8= ∫ 0 8 f ( x ) − 4 x x d x = ∫ 0 8 x 2 + 8 x d x = 2 1 ∫ 0 8 x 2 + 8 ( x 2 + 8 ) ′ d x = 2 1 ln ( x 2 + 8 ) 0 8 = 3p = ln 72 2 − ln 8 2 = ln 3 =\dfrac{\ln 72}{2}-\dfrac{\ln 8}{2}=\ln 3 = 2 ln 72 − 2 ln 8 = ln 3 2p
c) · 5p
Determinați a ∈ ( 0 , + ∞ ) a\in(0,+\infty) a ∈ ( 0 , + ∞ ) ∫ 0 a 1 f ( x ) − 4 d x = 1 4 \displaystyle\int_0^a\dfrac{1}{f(x)-4}\,dx=\dfrac{1}{4} ∫ 0 a f ( x ) − 4 1 d x = 4 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 0 a 1 f ( x ) − 4 d x = ∫ 0 a 1 ( x + 2 ) 2 d x = − 1 x + 2 ∣ 0 a = − 1 a + 2 + 1 2 \displaystyle\int_0^a\dfrac{1}{f(x)-4}\,dx=\int_0^a\dfrac{1}{(x+2)^2}\,dx=\left.-\dfrac{1}{x+2}\right|_0^a=-\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{2} ∫ 0 a f ( x ) − 4 1 d x = ∫ 0 a ( x + 2 ) 2 1 d x = − x + 2 1 0 a = − a + 2 1 + 2 1 a ∈ ( 0 , + ∞ ) a\in(0,+\infty) a ∈ ( 0 , + ∞ ) 3p − 1 a + 2 + 1 2 = 1 4 -\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} − a + 2 1 + 2 1 = 4 1 a = 2 a=2 a = 2 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M3 Toate subiectele →