Mai jos ai lucrarea oficială, cu enunțurile și baremul de corectare pentru fiecare cerință. Încearcă întâi singur, apoi deschide baremul. Sau dă toată lucrarea pe MateSim, ca simulare pe cronometru, cu notă la final.
3 ore timp de lucru
18 cerințe, cu barem pe pași
10p din oficiu
Subiectul I (30 de puncte) Exercițiul 1 · 5p
Arătați că 5 ⋅ ( 0 , 7 − 0 , 2 ) + 0 , 5 = 3 5\cdot(0{,}7-0{,}2)+0{,}5=3 5 ⋅ ( 0 , 7 − 0 , 2 ) + 0 , 5 = 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte 5 ⋅ ( 0 , 7 − 0 , 2 ) + 0 , 5 = 5 ⋅ 0 , 5 + 0 , 5 = 5\cdot(0{,}7-0{,}2)+0{,}5=5\cdot 0{,}5+0{,}5= 5 ⋅ ( 0 , 7 − 0 , 2 ) + 0 , 5 = 5 ⋅ 0 , 5 + 0 , 5 = 2p = 2 , 5 + 0 , 5 = 3 =2{,}5+0{,}5=3 = 2 , 5 + 0 , 5 = 3 3p
Exerciții de același tip: Numere și calcul → Exercițiul 2 · 5p
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 6 x − 2 f(x)=6x-2 f ( x ) = 6 x − 2 m m m f ( m ) = 10 f(m)=10 f ( m ) = 10
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( m ) = 6 m − 2 f(m)=6m-2 f ( m ) = 6 m − 2 m m m 2p 6 m − 2 = 10 6m-2=10 6 m − 2 = 10 m = 2 m=2 m = 2 3p
Exerciții de același tip: Funcții → Exercițiul 4 · 5p
După o scumpire cu 60 % 60\% 60% 320 320 320
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x + 60 100 ⋅ x = 320 x+\dfrac{60}{100}\cdot x=320 x + 100 60 ⋅ x = 320 x x x 3p x = 200 x=200 x = 200 2p
Exerciții de același tip: Procente și probabilități → Exercițiul 5 · 5p
În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 3 , 0 ) A(3,0) A ( 3 , 0 ) B ( 3 , 2 ) B(3,2) B ( 3 , 2 ) C ( a , b ) C(a,b) C ( a , b ) a a a b b b a a a b b b B B B A C AC A C
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte a = 3 a=3 a = 3 2p 2 = 0 + b 2 2=\dfrac{0+b}{2} 2 = 2 0 + b b = 4 b=4 b = 4 3p
Exerciții de același tip: Geometrie analitică → Exercițiul 6 · 5p
Arătați că 5 cos 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ + 4 ( sin 6 0 ∘ ) 2 = 5 5\cos 60^\circ-\sin 30^\circ+4\left(\sin 60^\circ\right)^2=5 5 cos 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ + 4 ( sin 6 0 ∘ ) 2 = 5
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte cos 6 0 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 3 0 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 sin 6 0 ∘ = 3 2 \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} sin 6 0 ∘ = 2 3 3p 5 cos 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ + 4 ( sin 6 0 ∘ ) 2 = 5 ⋅ 1 2 − 1 2 + 4 ⋅ ( 3 2 ) 2 = 5 2 − 1 2 + 4 ⋅ 3 4 = 5 5\cos 60^\circ-\sin 30^\circ+4\left(\sin 60^\circ\right)^2=5\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+4\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}+4\cdot\dfrac{3}{4}=5 5 cos 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ + 4 ( sin 6 0 ∘ ) 2 = 5 ⋅ 2 1 − 2 1 + 4 ⋅ ( 2 3 ) 2 = 2 5 − 2 1 + 4 ⋅ 4 3 = 5 2p
Exerciții de același tip: Geometrie și trigonometrie → Subiectul al II-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( 2 x − x − 2 ) A(x)=\begin{pmatrix} 2 & x \\ -x & -2 \end{pmatrix} A ( x ) = ( 2 − x x − 2 ) x x x
a) · 5p
Arătați că det ( A ( 5 ) ) = 21 \det\big(A(5)\big)=21 det ( A ( 5 ) ) = 21
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( 5 ) = ( 2 5 − 5 − 2 ) ⇒ det ( A ( 5 ) ) = ∣ 2 5 − 5 − 2 ∣ = 2 ⋅ ( − 2 ) − 5 ⋅ ( − 5 ) = A(5)=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(5)\big)=\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -5 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-5\cdot(-5)= A ( 5 ) = ( 2 − 5 5 − 2 ) ⇒ det ( A ( 5 ) ) = 2 − 5 5 − 2 = 2 ⋅ ( − 2 ) − 5 ⋅ ( − 5 ) = 3p = − 4 + 25 = 21 =-4+25=21 = − 4 + 25 = 21 2p
b) · 5p
Arătați că 2 A ( − 1 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 1 ) 2A(-1)+A(5)=3A(1) 2 A ( − 1 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 1 )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( − 1 ) = ( 2 − 1 1 − 2 ) A(-1)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} A ( − 1 ) = ( 2 1 − 1 − 2 ) 2 A ( − 1 ) + A ( 5 ) = ( 6 3 − 3 − 6 ) = 2A(-1)+A(5)=\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}= 2 A ( − 1 ) + A ( 5 ) = ( 6 − 3 3 − 6 ) = 3p = 3 ( 2 1 − 1 − 2 ) = 3 A ( 1 ) =3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}=3A(1) = 3 ( 2 − 1 1 − 2 ) = 3 A ( 1 ) 2p
c) · 5p
Determinați mulțimea numerelor reale x x x det ( A ( x ) ⋅ A ( − x ) − x 2 I 2 ) ≥ 0 \det\left(A(x)\cdot A(-x)-x^2I_2\right)\ge 0 det ( A ( x ) ⋅ A ( − x ) − x 2 I 2 ) ≥ 0
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte A ( − x ) = ( 2 − x x − 2 ) ⇒ A ( x ) ⋅ A ( − x ) − x 2 I 2 = ( 4 − 4 x − 4 x 4 ) A(-x)=\begin{pmatrix} 2 & -x \\ x & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow A(x)\cdot A(-x)-x^2I_2=\begin{pmatrix} 4 & -4x \\ -4x & 4 \end{pmatrix} A ( − x ) = ( 2 x − x − 2 ) ⇒ A ( x ) ⋅ A ( − x ) − x 2 I 2 = ( 4 − 4 x − 4 x 4 ) det ( A ( x ) ⋅ A ( − x ) − x 2 I 2 ) = 16 ( 1 − x 2 ) \det\left(A(x)\cdot A(-x)-x^2I_2\right)=16\left(1-x^2\right) det ( A ( x ) ⋅ A ( − x ) − x 2 I 2 ) = 16 ( 1 − x 2 ) x x x 3p 16 ( 1 − x 2 ) ≥ 0 16\left(1-x^2\right)\ge 0 16 ( 1 − x 2 ) ≥ 0 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x ∈ [ − 1 , 1 ] 2p
Exerciții de același tip: Matrice și determinanți → Problema 2
Se consideră polinomul f = X 3 + m X 2 − X − m f=X^3+mX^2-X-m f = X 3 + m X 2 − X − m m m m
a) · 5p
Arătați că f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 m m m
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 1 ) = 1 3 + m ⋅ 1 2 − 1 − m = f(1)=1^3+m\cdot 1^2-1-m= f ( 1 ) = 1 3 + m ⋅ 1 2 − 1 − m = 3p = 1 + m − 1 − m = 0 =1+m-1-m=0 = 1 + m − 1 − m = 0 m m m 2p
b) · 5p
Pentru m = − 3 m=-3 m = − 3 3 3 3 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f = X 3 − 3 X 2 − X + 3 ⇒ f ( 3 ) = 3 3 − 3 ⋅ 3 2 − 3 + 3 = f=X^3-3X^2-X+3\Rightarrow f(3)=3^3-3\cdot 3^2-3+3= f = X 3 − 3 X 2 − X + 3 ⇒ f ( 3 ) = 3 3 − 3 ⋅ 3 2 − 3 + 3 = 3p = 27 − 27 − 3 + 3 = 0 =27-27-3+3=0 = 27 − 27 − 3 + 3 = 0 3 3 3 f f f 2p
c) · 5p
Determinați numărul real m m m ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) 2 + x 1 x 2 x 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) = 1 \left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\right)^2+x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=1 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) 2 + x 1 x 2 x 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) = 1 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte x 1 + x 2 + x 3 = − m x_1+x_2+x_3=-m x 1 + x 2 + x 3 = − m x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = − 1 x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = − 1 x 1 x 2 x 3 = m x_1x_2x_3=m x 1 x 2 x 3 = m m m m 3p 1 − m 2 = 1 1-m^2=1 1 − m 2 = 1 m = 0 m=0 m = 0 2p
Exerciții de același tip: Legi de compoziție și polinoame → Subiectul al III-lea (30 de puncte) Problema 1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x 2 − 1 + 4 x f(x)=2x^2-1+\dfrac{4}{x} f ( x ) = 2 x 2 − 1 + x 4
a) · 5p
Arătați că f ′ ( x ) = 4 ( x 3 − 1 ) x 2 f'(x)=\dfrac{4\left(x^3-1\right)}{x^2} f ′ ( x ) = x 2 4 ( x 3 − 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 4 x − 4 x 2 = f'(x)=4x-\dfrac{4}{x^2}= f ′ ( x ) = 4 x − x 2 4 = 3p = 4 x 3 − 4 x 2 = 4 ( x 3 − 1 ) x 2 =\dfrac{4x^3-4}{x^2}=\dfrac{4\left(x^3-1\right)}{x^2} = x 2 4 x 3 − 4 = x 2 4 ( x 3 − 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2p
b) · 5p
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 2 x=2 x = 2 f f f
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ( 2 ) = 9 f(2)=9 f ( 2 ) = 9 f ′ ( 2 ) = 7 f'(2)=7 f ′ ( 2 ) = 7 2p Ecuația tangentei este y − f ( 2 ) = f ′ ( 2 ) ( x − 2 ) y-f(2)=f'(2)(x-2) y − f ( 2 ) = f ′ ( 2 ) ( x − 2 ) y = 7 x − 5 y=7x-5 y = 7 x − 5 3p
c) · 5p
Arătați că 6 ≤ 2 x 2 + 4 x ≤ 33 6\le 2x^2+\dfrac{4}{x}\le 33 6 ≤ 2 x 2 + x 4 ≤ 33 x ∈ [ 1 4 , 4 ] x\in\left[\dfrac{1}{4},4\right] x ∈ [ 4 1 , 4 ]
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 x ∈ [ 1 4 , 1 ] x\in\left[\dfrac{1}{4},1\right] x ∈ [ 4 1 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ 1 4 , 1 ] \left[\dfrac{1}{4},1\right] [ 4 1 , 1 ] x ∈ [ 1 , 4 ] x\in[1,4] x ∈ [ 1 , 4 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , 4 ] [1,4] [ 1 , 4 ] 2p Cum f ( 1 4 ) = 121 8 f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{121}{8} f ( 4 1 ) = 8 121 f ( 1 ) = 5 f(1)=5 f ( 1 ) = 5 f ( 4 ) = 32 f(4)=32 f ( 4 ) = 32 f ( 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( 4 ) f(1)\le f(x)\le f(4) f ( 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( 4 ) x ∈ [ 1 4 , 4 ] x\in\left[\dfrac{1}{4},4\right] x ∈ [ 4 1 , 4 ] 6 ≤ 2 x 2 + 4 x ≤ 33 6\le 2x^2+\dfrac{4}{x}\le 33 6 ≤ 2 x 2 + x 4 ≤ 33 x ∈ [ 1 4 , 4 ] x\in\left[\dfrac{1}{4},4\right] x ∈ [ 4 1 , 4 ] 3p
Exerciții de același tip: Derivate și studiul funcțiilor → Problema 2
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x − 1 + 2 ln x f(x)=x-1+2\ln x f ( x ) = x − 1 + 2 ln x
a) · 5p
Arătați că ∫ 1 3 ( f ( x ) − 2 ln x ) d x = 2 \displaystyle\int_1^3\big(f(x)-2\ln x\big)\,dx=2 ∫ 1 3 ( f ( x ) − 2 ln x ) d x = 2
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 3 ( f ( x ) − 2 ln x ) d x = ∫ 1 3 ( x − 1 ) d x = x 2 2 ∣ 1 3 − x ∣ 1 3 = \displaystyle\int_1^3\big(f(x)-2\ln x\big)\,dx=\int_1^3(x-1)\,dx=\left.\dfrac{x^2}{2}\right|_1^3-\left.x\right|_1^3= ∫ 1 3 ( f ( x ) − 2 ln x ) d x = ∫ 1 3 ( x − 1 ) d x = 2 x 2 1 3 − x ∣ 1 3 = 3p = 4 − 2 = 2 =4-2=2 = 4 − 2 = 2 2p
b) · 5p
Arătați că ∫ 1 e f ( x ) − x + 1 x d x = 1 \displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)-x+1}{x}\,dx=1 ∫ 1 e x f ( x ) − x + 1 d x = 1
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte ∫ 1 e f ( x ) − x + 1 x d x = ∫ 1 e 2 ln x x d x = ∫ 1 e 2 ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x = ln 2 x ∣ 1 e = \displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)-x+1}{x}\,dx=\int_1^e\dfrac{2\ln x}{x}\,dx=\int_1^e 2\ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\left.\ln^2 x\right|_1^e= ∫ 1 e x f ( x ) − x + 1 d x = ∫ 1 e x 2 ln x d x = ∫ 1 e 2 ln x ⋅ ( ln x ) ′ d x = ln 2 x 1 e = 3p = ln 2 e − ln 2 1 = 1 =\ln^2 e-\ln^2 1=1 = ln 2 e − ln 2 1 = 1 2p
c) · 5p
Determinați numărul real a a a g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb{R} g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = 3 x ( f ( x ) + 1 ) g(x)=3x\big(f(x)+1\big) g ( x ) = 3 x ( f ( x ) + 1 ) O x Ox O x x = 1 x=1 x = 1 x = 3 x=3 x = 3 a + 27 ln 3 a+27\ln 3 a + 27 ln 3
Rezolvarea din baremul oficial Pas Puncte g ( x ) = 3 x ( x + 2 ln x ) g(x)=3x(x+2\ln x) g ( x ) = 3 x ( x + 2 ln x ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) A = ∫ 1 3 ∣ g ( x ) ∣ d x = x 3 ∣ 1 3 + ∫ 1 3 ( 3 x 2 ) ′ ⋅ ln x d x = \mathcal{A}=\displaystyle\int_1^3|g(x)|\,dx=\left.x^3\right|_1^3+\int_1^3\left(3x^2\right)'\cdot\ln x\,dx= A = ∫ 1 3 ∣ g ( x ) ∣ d x = x 3 1 3 + ∫ 1 3 ( 3 x 2 ) ′ ⋅ ln x d x = 3p = 26 + 3 x 2 ln x ∣ 1 3 − 3 x 2 2 ∣ 1 3 = 14 + 27 ln 3 =26+\left.3x^2\ln x\right|_1^3-\left.\dfrac{3x^2}{2}\right|_1^3=14+27\ln 3 = 26 + 3 x 2 ln x 1 3 − 2 3 x 2 1 3 = 14 + 27 ln 3 a + 27 ln 3 = 14 + 27 ln 3 a+27\ln 3=14+27\ln 3 a + 27 ln 3 = 14 + 27 ln 3 a = 14 a=14 a = 14 2p
Exerciții de același tip: Integrale → Sursa: documentele oficiale ale Ministerului Educației (subiectul (PDF) · baremul (PDF) ).
Alte subiecte Bac M3 Toate subiectele →