Matematica bac M2: structură, metode, notare

Proba de matematică M2 o dau elevii de la științe ale naturii. Vestea bună: lucrarea e foarte previzibilă. Aceleași tipuri de exerciții vin pe aceleași poziții în fiecare an, iar fiecare tip se rezolvă cu o metodă pe care o poți învăța ca pe o rețetă. Mai jos ai harta lucrării, metoda pentru fiecare poziție (cu un exemplu rezolvat și capcana tipică) și un plan de pregătire.

3 oretimp de lucru

18cerințe, fiecare de 5 puncte

10pprimite din oficiu

nota 6doar cu Subiectul I și punctele a)

Lucrarea dintr-o privire

Trei subiecte de câte 30 de puncte. Subiectul I are șase exerciții scurte. Subiectele II și III au câte două probleme, fiecare cu punctele a), b) și c). Apasă pe o poziție ca să exersezi exact acel tip de exercițiu.

Subiectul I30p · 6 exerciții

Ex. 1 · 5pProgresii, logaritmi, radicali Ex. 2 · 5pFuncția de gradul I și II Ex. 3 · 5pEcuații Ex. 4 · 5pNumărare, probabilități Ex. 5 · 5pGeometrie analitică Ex. 6 · 5pTrigonometrie în triunghi

Subiectul al II-lea30p · 2 probleme

Problema 1 · a, b, cMatrice: determinant, inversă Problema 2 · a, b, cLegi de compoziție sau polinoame

Subiectul al III-lea30p · 2 probleme

Problema 1 · a, b, cDerivate: tangentă, asimptote Problema 2 · a, b, cIntegrale definite, arii

+ 10 puncte din oficiu · 3 ore · nota = puncte : 10

De reținut

Nota este punctajul total împărțit la 10. Fiecare cerință are în barem doi pași (de obicei 2p + 3p), deci primești puncte și pentru o rezolvare începută corect. Orice metodă corectă, chiar diferită de cea din barem, primește punctajul întreg.

Unde sunt punctele ușoare

Nu toate punctele sunt la fel de greu de luat. Subiectul I și punctele a) sunt aproape mereu calcule directe: un determinant, o lege de compoziție aplicată pe numere, o derivată, o integrală simplă.

10pSubiectul I · 30ptoate a) · 20ptoate b) · 20ptoate c) · 20p

46810

Nota după ce aduni, de la stânga la dreapta: din oficiu, Subiectul I, apoi punctele a), b) și c) de la cele patru probleme.

Ordinea care aduce cele mai multe puncte

Rezolvă întâi Subiectul I, apoi toate punctele a), abia apoi b) și c). Cu primele două ești deja la nota 6, înainte de orice problemă grea.

Metoda pentru fiecare poziție

Exemplele de mai jos sunt scrise de noi, ca să vezi metoda pe un caz simplu. Exercițiile oficiale le găsești mai jos și în aplicație.

Subiectul I, ex. 1: progresii și logaritmi

Progresie aritmetică: scrie primul termen și rația: $r = a_2 - a_1$ , apoi $a_n = a_1 + (n-1)r$ și $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\,n}{2}$ .
Progresie geometrică: rația este $q = \dfrac{b_2}{b_1}$ , iar $b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$ .
Logaritmi: adună-i sau scade-i într-un singur logaritm: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ , $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$ .

Exemplu. $\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{12}{3} = \log_2 4 = 2$ .

Atenție

$\log_a(x + y)$ nu se desface în $\log_a x + \log_a y$ . Regula merge doar pentru produs.

Subiectul I, ex. 2: funcții

$f(a)$ sau $f(2a)$ : înlocuiești $x$ cu expresia dată, cu paranteze.
Intersecția cu axa $Ox$ : rezolvi $f(x) = 0$ ; cu axa $Oy$ : calculezi $f(0)$ .
Vârful parabolei $f(x) = ax^2 + bx + c$ : $x_V = -\dfrac{b}{2a}$ , $y_V = -\dfrac{\Delta}{4a}$ (sau direct $f(x_V)$ ).

Exemplu. Pentru $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : $x_V = -\dfrac{-4}{2} = 2$ și $y_V = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ , deci vârful este $V(2, -1)$ .

Subiectul I, ex. 3: ecuații

Logaritmice: pui condițiile de existență (argumentele pozitive), egalezi argumentele, rezolvi și verifici fiecare soluție.
Exponențiale: aduci ambii membri la aceeași bază: $2^{x+1} = 16 = 2^4$ , deci $x + 1 = 4$ .
Iraționale: ridici la pătrat, rezolvi, apoi verifici în ecuația inițială.

Exemplu. $\sqrt{x+3} = x + 1$ . Ridicând la pătrat: $x + 3 = x^2 + 2x + 1$ , adică $x^2 + x - 2 = 0$ , cu $x = 1$ sau $x = -2$ . Verificare: pentru $x = 1$ , $\sqrt{4} = 2$ , convine. Pentru $x = -2$ , $\sqrt{1} = 1$ , dar $x + 1 = -1$ , deci nu convine. Soluția este $x = 1$ .

Atenție

Ridicarea la pătrat poate adăuga soluții false. Fără verificare pierzi pasul de 3 puncte, chiar dacă restul calculului e corect.

Subiectul I, ex. 4: numărare și probabilități

Probabilitatea: $p = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$ . Scrie separat cele două numere: fiecare are punctele lui.
Numere cu cifre date: alege întâi cifra cu restricție (ultima cifră pară, prima nenulă), apoi pe celelalte.
Submulțimi cu $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente: $C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .

Exemplu. Alegem un număr din mulțimea $\{1, 2, \ldots, 20\}$ . Multiplii lui $3$ sunt $3, 6, 9, 12, 15, 18$ , adică $6$ cazuri favorabile din $20$ posibile, deci $p = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ .

Subiectul I, ex. 5: geometrie analitică

Mijlocul segmentului $AB$ : $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$ .
Distanța: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .
Panta: $m_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ . Drepte paralele: pante egale. Perpendiculare: produsul pantelor $-1$ .
Ecuația dreptei prin $A$ , cu panta $m$ : $y - y_A = m(x - x_A)$ .

Exemplu. Pentru $A(1, 2)$ și $B(4, 6)$ : $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ și $m_{AB} = \dfrac{4}{3}$ .

Subiectul I, ex. 6: trigonometrie în triunghi

Triunghi dreptunghic: $\sin = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}$ , $\cos = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}$ , apoi teorema lui Pitagora.
Oarecare: teorema sinusurilor $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ sau teorema cosinusului $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ .
Aria: $\mathcal{A} = \dfrac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2}$ .

Exemplu. În triunghiul $ABC$ cu $AB = 4$ , $AC = 6$ și $A = 30^\circ$ : $\mathcal{A} = \dfrac{4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}}{2} = 6$ .

Toate exercițiile oficiale M2 de la Subiectul I, pe poziții.

Exersează Subiectul I →

Subiectul II, problema 1: matrice

Determinant $2 \times 2$ : $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ . Pentru $3 \times 3$ : regula lui Sarrus.
„Arătați că $B$ este inversa lui $A$ ”: calculezi $A \cdot B$ și obții $I_2$ . Nu ai nevoie de formula inversei.
Inversa, când ți se cere: $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\, A^*$ , doar dacă $\det A \neq 0$ .
Ecuație matriceală $A \cdot X = B$ : $X = A^{-1} \cdot B$ (înmulțirea la stânga, nu la dreapta).

Exemplu. Pentru $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ , $\det A = 4 - 3 = 1$ , iar $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ . Verificare: $A \cdot A^{-1} = I_2$ .

Atenție

Produsul de matrice nu e comutativ: $A \cdot X$ și $X \cdot A$ sunt, în general, diferite. Din $A \cdot X = B$ obții $X = A^{-1} B$ , nu $B A^{-1}$ .

Subiectul II, problema 2: legi de compoziție

Punctul a) e aproape mereu un calcul direct: înlocuiești $x$ și $y$ în formulă.
Caută forma factorizată. Multe legi se scriu $x * y = k(x - a)(y - a) + a$ . Cu ea, calculele devin foarte scurte.
Elementul neutru $e$ : rezolvi $x * e = x$ pentru orice $x$ real.
Ecuațiile de forma $x * x = c$ devin ecuații obișnuite după ce aplici formula.

Exemplu. $x * y = xy - 2x - 2y + 6 = (x - 2)(y - 2) + 2$ . Elementul neutru: $(x - 2)(e - 2) + 2 = x$ pentru orice $x$ dă $e - 2 = 1$ , deci $e = 3$ .

Matrice, determinanți și legi de compoziție, din subiectele oficiale M2.

Exersează Subiectul al II-lea →

Subiectul III, problema 1: derivate

Derivata: tabelul derivatelor și regulile: $(u \pm v)' = u' \pm v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Tangenta în punctul de abscisă $a$ : $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Paralelă cu $Ox$ înseamnă $f'(a) = 0$ .
Asimptota orizontală spre $+\infty$ : calculezi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ ; dacă e un număr $\ell$ , dreapta este $y = \ell$ .
Monotonie și extreme: rezolvi $f'(x) = 0$ , faci tabelul de semn al lui $f'$ și citești din el unde crește, unde scade și punctele de extrem.

Exemplu. Pentru $f(x) = x^3 - 3x$ : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ , cu zerourile $\pm 1$ . Funcția crește pe $(-\infty, -1]$ , scade pe $[-1, 1]$ și crește pe $[1, +\infty)$ , deci are maxim în $-1$ , $f(-1) = 2$ , și minim în $1$ , $f(1) = -2$ .

Atenție

Uită-te la domeniul funcției. O rădăcină a lui $f'$ care nu e în domeniu nu contează: scrie explicit „nu convine”.

Subiectul III, problema 2: integrale

Primitivele de bază: $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ , $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ , $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$ .
Integrala definită cu formula Leibniz–Newton: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
Recunoaște forma $\dfrac{u'}{u}$ : $\displaystyle\int \dfrac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$ .
Integrarea prin părți pentru produse cu $\ln x$ sau $e^x$ : $\displaystyle\int_a^b f g' = \left. fg\right\vert_a^b - \int_a^b f' g$ .

Exemplu. $\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)\,dx = \left.(x^2 + x)\right\vert_0^1 = 2$ . Prin părți: $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \left. x \ln x \right\vert_1^e - \int_1^e 1\,dx = e - (e - 1) = 1$ .

Problemele oficiale M2 de la Subiectul al III-lea, cu barem.

Exersează derivate și integrale →

Cum arată exercițiile oficiale

Trei cerințe din iunie 2025, varianta 1, câte una din fiecare subiect. Încearcă-le singur, apoi deschide baremul.

Bac M2 2025, iunie, varianta 1 · Subiectul I, ex. 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2\left(x^2-3x+2\right)=\log_2(2+x)$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$x^2-3x+2=2+x$ , de unde obținem $x^2-4x=0$	2p
$x=0$ sau $x=4$ , care convin	3p

Rezolvă exerciții ca acesta →

Bac M2 2025, iunie, varianta 1 · Subiectul al II-lea, problema 1 b)

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A=\begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Arătați că matricea $B=\dfrac{1}{2}(I_2-A)$ este inversa matricei $A$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
$I_2-A=\begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -4 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}$	3p
$A\cdot B=B\cdot A=I_2$ , deci matricea $B$ este inversa matricei $A$	2p

Rezolvă exerciții ca acesta →

Bac M2 2025, iunie, varianta 1 · Subiectul al III-lea, problema 1 c)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}$ .

Determinați $a\in(0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a,f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox$ .

Rezolvarea din baremul oficial

Pas	Puncte
Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\big(a,f(a)\big)$ este paralelă cu axa $Ox\Leftrightarrow f'(a)=0$ , $a\in(0,+\infty)$	3p
$\dfrac{-3a^2-a+2}{\left(a^2+a+2\right)^2\sqrt{a}}=0$ , de unde obținem $a=-1$ , care nu convine, sau $a=\dfrac{2}{3}$ , care convine	2p

Rezolvă exerciții ca acesta →

Unde se pierd puncte des

La ecuații: soluțiile nu sunt verificate. Baremul cere explicit „care convin”.
La „Arătați că…”: lipsește calculul. Rezultatul e în enunț, punctele vin din pași.
La derivate: domeniul e uitat. Mai sus, $a = -1$ nu convine, pentru că $f$ e definită pe $(0, +\infty)$ .
La matrice: produsul e făcut în ordinea greșită.

Cum îți împarți cele 3 ore

O împărțire orientativă, care lasă timp pentru verificare. Ajusteaz-o după primele simulări.

Partea	Timp	Ce faci
Subiectul I	35 de minute	cele 6 exerciții, în ordine
Punctele a) de la II și III	25 de minute	4 calcule directe, 20 de puncte
Punctele b) și c)	100 de minute	începi cu problema pe care o stăpânești cel mai bine
Recitire	20 de minute	semne, condiții, „care convin”, calcule

Planul în 5 pași

Învață pe poziții, nu pe capitole întregi. 10–15 exerciții de pe aceeași poziție, din ani diferiți, și tiparul devine evident.
Fixează Subiectul I. Sunt 30 de puncte la exerciții de câteva rânduri. Țintește să-l rezolvi în 30–35 de minute.
Adaugă punctele a). Încă 20 de puncte, la calcule pe care le poți exersa mecanic.
Corectează-te după barem. Compară fiecare rezolvare cu pașii baremului și notează pasul pe care l-ai sărit.
Dă simulări de trei ore. O lucrare întreagă pe timp îți arată unde pierzi puncte și cât îți ia fiecare subiect.

Lucrări oficiale M2 întregi, pe cronometru, cu notă la final.

Dă o simulare M2 →

Vrei și subiectele întregi? Le găsești, cu baremul, la subiecte cu barem. Pentru formule pe capitole: formule bac mate. Pentru regulile baremului și punctajul parțial, citește cum se notează la bac: sunt aceleași la M1 și M2.

Întrebări frecvente

Cine dă proba de matematică M2?

Elevii de la filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii.

Care e diferența dintre M1 și M2?

Structura și notarea sunt aceleași: trei subiecte de câte 30 de puncte, 10 puncte din oficiu, trei ore. La M2 programa e mai scurtă, iar exercițiile sunt de obicei mai directe. Programa exactă e cea publicată de Ministerul Educației pentru sesiunea ta.

Ce capitole trebuie să știu sigur pentru M2?

Pe cele care vin în fiecare an: progresii și logaritmi, funcții, ecuații, probabilități, geometrie analitică și trigonometrie (Subiectul I), matrice și legi de compoziție (Subiectul II), derivate și integrale (Subiectul III).

De unde exersez subiecte de bac M2?

Pe MateSim ai subiectele oficiale M2 din 2020–2026, pe poziții, cu verificarea răspunsului, rezolvarea după barem și simulări de trei ore.

Surse

Subiectele și baremele oficiale de bacalaureat la matematică M_șt-nat (Ministerul Educației, CNCE)

Matematica la bac M2: cum arată lucrarea și cum rezolvi fiecare exercițiu

Lucrarea dintr-o privire

Unde sunt punctele ușoare

Metoda pentru fiecare poziție

Subiectul I, ex. 1: progresii și logaritmi

Subiectul I, ex. 2: funcții

Subiectul I, ex. 3: ecuații

Subiectul I, ex. 4: numărare și probabilități

Subiectul I, ex. 5: geometrie analitică

Subiectul I, ex. 6: trigonometrie în triunghi

Subiectul II, problema 1: matrice

Subiectul II, problema 2: legi de compoziție

Subiectul III, problema 1: derivate

Subiectul III, problema 2: integrale

Cum arată exercițiile oficiale

Cum îți împarți cele 3 ore

Planul în 5 pași

Întrebări frecvente

Cine dă proba de matematică M2?

Care e diferența dintre M1 și M2?

Ce capitole trebuie să știu sigur pentru M2?

De unde exersez subiecte de bac M2?

Surse

Ce faci mai departe

Mai citește

Subiecte bac mate M1 2026 (iunie, varianta 3) rezolvate pas cu pas

Modelele 2027 la matematică: bac M1, M2, M3 și Evaluarea Națională, ce conțin și cum le folosești

Cum se notează la bacul la mate M1: barem, puncte și nota finală