Formule bac: trigonometrie

Definițiile, teoremele și formulele pentru trigonometrie la bacul la matematică (Subiectul I · Ex. 6): Elemente de trigonometrie, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Exercițiul 6 din Subiectul I: formule trigonometrice și rezolvarea triunghiurilor.

De reținut

O latură și unghiul opus ei: teorema sinusurilor. Două laturi și unghiul dintre ele: teorema cosinusului.

Valori remarcabile

$x$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$	$0$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\operatorname{tg} x$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	$\nexists$	$0$

$180^\circ=\pi$ radiani, deci $30^\circ=\frac{\pi}{6}$ , $45^\circ=\frac{\pi}{4}$ , $60^\circ=\frac{\pi}{3}$ , $90^\circ=\frac{\pi}{2}$ .

Formule trigonometrice

Formula fundamentală

\sin^2x+\cos^2x=1

Tangenta și cotangenta

\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}

Sinusul sumei

\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b

Cosinusul sumei

\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b

Tangenta sumei

\operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b}{1-\operatorname{tg}a\,\operatorname{tg}b}

Unghiul dublu

\sin 2x=2\sin x\cos x

Cosinusul unghiului dublu

\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x

Unghiuri suplementare

\sin(\pi-x)=\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x

Unghiuri complementare

\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x

Rezolvarea triunghiului

Teorema sinusurilor

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

$R$ este raza cercului circumscris

Teorema cosinusului

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Aria cu sinus

\mathcal{A}=\frac{ab\sin C}{2}

Formula lui Heron

\mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

$p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul

Raza cercului înscris

r=\frac{\mathcal{A}}{p}

iar $R=\frac{abc}{4\mathcal{A}}$

Triunghiul dreptunghic

\mathcal{A}=\frac{c_1c_2}{2},\quad a^2=c_1^2+c_2^2

Suma unghiurilor unui triunghi este $180^\circ$ , deci $\sin A=\sin(B+C)$ și $\cos A=-\cos(B+C)$ .

Proprietăți ale funcțiilor trigonometrice

Cadranul	$\sin x$	$\cos x$
$I:\ \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$	$+$	$+$
$II:\ \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$	$+$	$-$
$III:\ \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$	$-$	$-$
$IV:\ \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$	$-$	$+$

Mărginirea

-1\le\sin x\le1,\qquad -1\le\cos x\le1

Paritatea

\cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x

cosinusul e funcție pară; sinusul, tangenta și cotangenta sunt impare

Periodicitatea

\sin(x+2k\pi)=\sin x,\quad \cos(x+2k\pi)=\cos x,\quad \operatorname{tg}(x+k\pi)=\operatorname{tg}x

Alte formule trigonometrice

Tangenta diferenței

\operatorname{tg}(a-b)=\frac{\operatorname{tg}a-\operatorname{tg}b}{1+\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b}

Tangenta unghiului dublu

\operatorname{tg}2x=\frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x}

Cu tangenta unghiului pe jumătate

\sin x=\frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}},\quad \cos x=\frac{1-\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}

Sume în produs (sinus)

\sin a\pm\sin b=2\sin\frac{a\pm b}{2}\cos\frac{a\mp b}{2}

Sume în produs (cosinus)

\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2},\quad \cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}

Funcții trigonometrice inverse

Funcția	Definită	Cu valori în	Simetria
$\arcsin x$	$[-1,1]$	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$	$\arcsin(-x)=-\arcsin x$
$\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	$\arccos(-x)=\pi-\arccos x$
$\operatorname{arctg} x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$	$\operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}x$
$\operatorname{arcctg} x$	$\mathbb{R}$	$(0,\pi)$	$\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}x$

$\sin(\arcsin x)=x$ pentru $x\in[-1,1]$ și $\arcsin(\sin x)=x$ pentru $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ; la fel pentru celelalte, pe intervalele lor.

Triunghiul dreptunghic și echilateral

Înălțimea pe ipotenuză

h=\frac{c_1\cdot c_2}{ip}

Mediana pe ipotenuză

m=\frac{ip}{2}=R

Rapoarte trigonometrice

\sin\alpha=\frac{\text{cateta opusă}}{ip},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateta alăturată}}{ip},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{opusă}}{\text{alăturată}}

Triunghiul echilateral

\mathcal{A}=\frac{l^2\sqrt3}{4},\qquad h=\frac{l\sqrt3}{2}

Raza cercului circumscris

R=\frac{abc}{4\mathcal{A}}

Teorema cosinusului o folosești când știi toate laturile (afli un unghi) sau două laturi și unghiul dintre ele (afli a treia latură); altfel, teorema sinusurilor.

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →