Formule bac: probabilități și combinatorică

Definițiile, teoremele și formulele pentru probabilități și combinatorică la bacul la matematică (Subiectul I · Ex. 4): Metode de numărare, probabilități, matematici financiare, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Exercițiul 4 din Subiectul I: probabilități, permutări, aranjamente, combinări și binomul lui Newton.

De reținut

Contează ordinea? Dacă da, folosești aranjamente; dacă nu, combinări.

Probabilitate

Probabilitatea unui eveniment

Raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, când toate cazurile sunt egal posibile. Are valori între $0$ și $1$ .

Evenimente independente

$A$ și $B$ sunt independente dacă $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ .

Definiția clasică

P(A)=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}

Evenimentul contrar

P(\overline{A})=1-P(A)

Reuniunea

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Sunt $90$ de numere naturale de două cifre (de la $10$ la $99$ ) și $900$ de trei cifre.

Permutări, aranjamente, combinări

Factorialul

$n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$ , iar $0!=1$ ; în plus $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ .

	Formula	Când o folosești
$P_n$	$n!$	$\text{ordonezi toate cele } n \text{ elemente}$
$A_n^k$	$\frac{n!}{(n-k)!}$	$\text{alegi } k \text{ și ordinea contează}$
$C_n^k$	$\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$	$\text{alegi } k \text{ și ordinea nu contează}$

Combinări complementare

C_n^k=C_n^{n-k}

Formula de recurență

C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}

triunghiul lui Pascal

Suma combinărilor

C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n=2^n

numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente

Relația aranjamente–combinări

A_n^k=C_n^k\cdot k!

Numărul funcțiilor $f:A\to B$

|B|^{|A|}

injective, pentru $|A|=k\le|B|=n$ : $A_n^k$

Numărul submulțimilor

\text{o mulțime cu } n \text{ elemente are } 2^n \text{ submulțimi}

Funcții bijective

f:A\to A \text{ bijective: } (\operatorname{card}A)!

Binomul lui Newton

Dezvoltarea

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k\,a^{n-k}b^k

Termenul general

T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}b^k

Suma coeficienților binomiali

C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n=2^n

Coeficienții de rang par și impar

C_n^0+C_n^2+C_n^4+\dots=C_n^1+C_n^3+\dots=2^{n-1}

Dezvoltarea are $n+1$ termeni. Termenul care nu îl conține pe $x$ (termenul liber) se află punând exponentul lui $x$ din $T_{k+1}$ egal cu $0$ .

Matematici financiare

Procentul dintr-un număr

p\%\ \text{din}\ x=\frac{p}{100}\cdot x

Scumpirea cu $p\%$

p_{\text{final}}=x+\frac{p}{100}\cdot x

reducerea: $p_{\text{final}}=x-\frac{p}{100}\cdot x$

T.V.A.

p_v=x+\frac{p}{100}\cdot x,\qquad \text{T.V.A.}=p_v-x

$x$ = prețul inițial, $p_v$ = prețul de vânzare

Dobânda simplă

D=S\cdot\frac{r}{100}\cdot n,\qquad S_{\text{finală}}=S+D

$S$ = suma depusă, $r$ = rata dobânzii în %, $n$ = numărul de ani

Dobânda compusă

S_{\text{finală}}=S\left(1+\frac{r}{100}\right)^n

$D=S\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-1\right]$

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →