Formule bac: numere și progresii

Definițiile, teoremele și formulele pentru numere și progresii la bacul la matematică (Subiectul I · Ex. 1): Progresii, logaritmi, puteri și radicali, numere complexe, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Exercițiul 1 din Subiectul I: numere complexe, progresii, logaritmi, puteri și radicali.

De reținut

La numerele complexe totul se reduce la $i^2=-1$ : desfaci parantezele, înlocuiești și grupezi sub forma $a+bi$ .

Numere complexe: forma algebrică

Forma algebrică

Orice număr complex se scrie $z=a+bi$ , cu $a,b\in\mathbb{R}$ și $i^2=-1$ . Numărul $a=\operatorname{Re}z$ este partea reală, iar $b=\operatorname{Im}z$ partea imaginară.

Egalitatea

$a+bi=c+di$ dacă și numai dacă $a=c$ și $b=d$ . Numărul $z$ este real dacă $b=0$ și imaginar pur dacă $a=0$ , $b\ne0$ .

Conjugatul

\overline{z}=a-bi

$z\cdot\overline{z}=a^2+b^2$ , $\ z+\overline{z}=2a$

Modulul

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

Puterile lui $i$

i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1

se repetă din 4 în 4: $i^{4k+r}=i^r$

Împărțirea

\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdot\overline{z_2}}{|z_2|^2}

Proprietățile modulului

|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|,\quad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}

Proprietățile conjugatului

\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\quad \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}

Puterile lui $i$ , pe resturi

i^{4n}=1,\ i^{4n+1}=i,\ i^{4n+2}=-1,\ i^{4n+3}=-i

Modulul și conjugatul

|z|^2=z\cdot\overline{z},\quad |z|=|\overline{z}|,\quad |z^n|=|z|^n

Număr real

z\in\mathbb{R}\iff z=\overline{z}\iff \operatorname{Im}z=0

Ecuația de gradul al II-lea cu $\Delta<0$

x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}

în particular $x^2=a$ , $a<0$ $\Rightarrow x=\pm i\sqrt{-a}$

Numere complexe: forma trigonometrică

Forma trigonometrică

$z=r(\cos t+i\sin t)$ , unde $r=|z|$ este modulul, iar $t\in[0,2\pi)$ este argumentul redus, cu $\cos t=\frac{a}{r}$ și $\sin t=\frac{b}{r}$ .

Produsul

z_1z_2=r_1r_2\big(\cos(t_1+t_2)+i\sin(t_1+t_2)\big)

Formula lui Moivre

z^n=r^n(\cos nt+i\sin nt)

Progresii aritmetice

Definiția

Un șir în care fiecare termen se obține din cel dinainte adunând același număr $r$ , numit rație: $a_{n+1}=a_n+r$ .

Termenul general

a_n=a_1+(n-1)r

Suma primilor $n$ termeni

S_n=\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}=\frac{\big(2a_1+(n-1)r\big)\,n}{2}

Trei termeni consecutivi

a,\,b,\,c:\quad 2b=a+c

Termeni egal depărtați de capete

a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots

Progresii geometrice

Definiția

Un șir cu $b_1\ne0$ în care fiecare termen se obține din cel dinainte înmulțind cu același număr $q\ne0$ , numit rație: $b_{n+1}=b_n\cdot q$ .

Termenul general

b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}

Suma primilor $n$ termeni

S_n=b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}

pentru $q\ne1$ ; dacă $q=1$ , $S_n=n\,b_1$

Trei termeni consecutivi

a,\,b,\,c:\quad b^2=ac

Logaritmi

Definiția

Pentru $a>0$ , $a\ne1$ și $x>0$ : $\log_a x$ este puterea la care trebuie ridicat $a$ ca să obții $x$ , adică $\log_a x=y \iff a^y=x$ .

Notații

$\lg x=\log_{10}x$ (logaritmul zecimal) și $\ln x=\log_e x$ (logaritmul natural).

Condițiile de existență

$\log_a N$ există dacă $a>0$ , $a\ne1$ (baza) și $N>0$ (cantitatea).

Valori de bază

\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1

Logaritmul produsului

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Logaritmul câtului

\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y

Logaritmul puterii

\log_a x^k=k\log_a x

Schimbarea bazei

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},\quad \log_a b=\frac{1}{\log_b a}

Identitatea de bază

a^{\log_a x}=x

Schimbarea bazei (alte forme)

\log_{a^n}x=\frac{1}{n}\log_a x,\qquad \log_a b=\log_c b\cdot\log_a c

Schimbarea bazei în exponent

a^{\log_b c}=c^{\log_b a}

Monotonia

\log_a x \text{ și } a^x:\ \text{crescătoare pentru } a>1,\ \text{descrescătoare pentru } 0<a<1

pentru $a>1$ : $x_1<x_2\iff \log_a x_1<\log_a x_2$ ; pentru $0<a<1$ inegalitatea se schimbă

Puteri și radicali

Produs și cât de puteri

a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

Puterea unei puteri

(a^m)^n=a^{mn},\quad (ab)^n=a^nb^n

Exponent negativ

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Radical ca putere

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Radicalul pătratului

\sqrt{a^2}=|a|

Raționalizarea

\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}

Puteri particulare

a^0=1,\quad 1^n=1,\quad a^{-1}=\frac{1}{a}

Puterea unei fracții

\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n

Produsul și câtul radicalilor

\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}

Existența radicalului

\sqrt{f(x)}:\ f(x)\ge0

radicalul de ordin impar ( $\sqrt[3]{\ }$ ) există pentru orice număr real

Formule de calcul prescurtat

Gradul 2	Gradul 3
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$	$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$	$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Partea întreagă și partea fracționară

Partea întreagă

$[x]$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$ : $[x]=n\in\mathbb{Z}\iff n\le x<n+1$ .

Partea fracționară

$\{x\}=x-[x]$ , deci $x=[x]+\{x\}$ .

Încadrarea

x-1<[x]\le x,\qquad \{x\}\in[0,1)

Adunarea unui întreg

[x+n]=[x]+n,\quad \{x+n\}=\{x\},\quad n\in\mathbb{Z}

Modulul unui număr real

Definiția

$|x|=x$ pentru $x\ge0$ și $|x|=-x$ pentru $x<0$ .

Inecuații cu modul

|x|\le A\iff -A\le x\le A

și $|x|\ge A\iff x\le -A$ sau $x\ge A$ , pentru $A\ge0$

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →