Formule bac: geometrie analitică

Definițiile, teoremele și formulele pentru geometrie analitică la bacul la matematică (Subiectul I · Ex. 5): Geometrie analitică și vectori, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Exercițiul 5 din Subiectul I: geometrie analitică în plan (puncte, drepte, vectori).

De reținut

O dreaptă se scrie cu un punct și o pantă: $y-y_A=m(x-x_A)$ .

Puncte

Mijlocul segmentului $AB$

M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)

Distanța dintre două puncte

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Centrul de greutate

G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\,\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)

Aria triunghiului $ABC$

\mathcal{A}=\frac{1}{2}\,|\Delta|,\quad \Delta=\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}

$A,B,C$ coliniare dacă $\Delta=0$

Puncte coliniare

A,B,C \text{ coliniare}\iff \begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix}=0

Dreapta

Panta

Panta dreptei $AB$ măsoară cât de înclinată este dreapta: $m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (pentru $x_A\ne x_B$ ). O dreaptă verticală $x=k$ nu are pantă.

Panta din unghi și din ecuație

$m=\operatorname{tg}\alpha$ , unde $\alpha$ este unghiul dreptei cu $Ox$ . Pentru $ax+by+c=0$ , $b\ne0$ : $m=-\frac{a}{b}$ ; pentru $y=mx+n$ panta este $m$ .

Poziția a două drepte

Pentru $a_1x+b_1y+c_1=0$ și $a_2x+b_2y+c_2=0$ : concurente dacă $\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}$ , paralele dacă $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}$ , confundate dacă toate trei rapoartele sunt egale. Punctul de intersecție este soluția sistemului format din cele două ecuații.

Ecuația dreptei prin $A$ , cu panta $m$

y-y_A=m(x-x_A)

Ecuația dreptei prin $A$ și $B$

\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}

Forma generală

ax+by+c=0,\quad m=-\frac{a}{b}

Drepte paralele

m_1=m_2

Drepte perpendiculare

m_1\cdot m_2=-1

Distanța de la un punct la o dreaptă

d\big(M,\,ax+by+c=0\big)=\frac{|a\,x_M+b\,y_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Ecuația dreptei cu determinant

AB:\ \begin{vmatrix}x&y&1\\x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\end{vmatrix}=0

Panta dreptei $AB$

m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},\quad x_A\ne x_B

Vectori

Vectori egali, opuși, nul

Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, lungime și sens; opuși dacă au aceeași direcție și lungime și sensuri opuse: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ . Vectorul nul are lungimea 0.

Vectori coliniari

$\vec u$ , $\vec v$ ( $\vec v\ne\vec 0$ ) sunt coliniari dacă există $\alpha$ real cu $\vec u=\alpha\vec v$ ; în coordonate, $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ .

Vectorul $\overrightarrow{AB}$

\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\,\vec{i}+(y_B-y_A)\,\vec{j}

Lungimea vectorului

|a\vec{i}+b\vec{j}|=\sqrt{a^2+b^2}

Produsul scalar

\vec{u}\cdot\vec{v}=a_1a_2+b_1b_2=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha

Vectori coliniari

\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}

Vectori perpendiculari

a_1a_2+b_1b_2=0

Regula paralelogramului

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}

pentru paralelogramul $ABCD$

Regula triunghiului

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

Mijlocul unui segment

\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}

Unghiul a doi vectori

\vec v_1\cdot\vec v_2=|\vec v_1|\,|\vec v_2|\cos\angle(\vec v_1,\vec v_2)

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →