Formule bac: funcții

Definițiile, teoremele și formulele pentru funcții la bacul la matematică (Subiectul I · Ex. 2): Funcții: definiții și proprietăți, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Exercițiul 2 din Subiectul I: compunerea funcțiilor, funcția de gradul I și funcția de gradul al II-lea.

De reținut

Un punct este pe graficul unei funcții exact atunci când îi verifică ecuația: $A(m,n)\in G_f \iff f(m)=n$ .

Funcții și grafice

Graficul funcției

Mulțimea punctelor $(x,\,f(x))$ . Un punct $A(m,n)$ aparține graficului dacă $f(m)=n$ .

Compunerea

Pentru $g:A\to B$ și $f:B\to C$ , funcția $f\circ g:A\to C$ este $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ : întâi se aplică $g$ , apoi $f$ .

Funcție pară, impară

$f$ este pară dacă $f(-x)=f(x)$ (grafic simetric față de $Oy$ ) și impară dacă $f(-x)=-f(x)$ (grafic simetric față de origine).

Funcție periodică

$f:D\to\mathbb{R}$ este periodică de perioadă $T\ne0$ dacă $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x\in D$ (cu $x+T\in D$ ). Cea mai mică perioadă pozitivă este perioada principală.

Imaginea funcției

$\operatorname{Im}f=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$ , mulțimea valorilor funcției.

Funcții monotone

$f$ este strict crescătoare dacă $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ și strict descrescătoare dacă $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ (cu $\le$ , $\ge$ : monoton crescătoare / descrescătoare).

Intersecția cu axa $Ox$

f(x)=0

Intersecția cu axa $Oy$

(0,\,f(0))

Intersecția a două grafice

f(x)=g(x)

Injectivitate, surjectivitate, inversă

Funcție injectivă

Valori diferite ale lui $x$ dau valori diferite: $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ . O funcție strict monotonă este injectivă.

Funcție surjectivă

Orice $y$ din codomeniu este atins: pentru orice $y$ există $x$ cu $f(x)=y$ .

Funcție bijectivă și inversa

$f$ este bijectivă dacă e injectivă și surjectivă. Atunci are inversă $f^{-1}$ , cu $f(f^{-1}(y))=y$ și $f^{-1}(f(x))=x$ ; o afli rezolvând $f(x)=y$ în raport cu $x$ .

Cum arăți că nu e injectivă

Găsești $x_1\ne x_2$ cu $f(x_1)=f(x_2)$ . O funcție strict monotonă este injectivă.

Surjectivitate prin imagine

$f:A\to B$ este surjectivă $\iff \operatorname{Im}f=B$ , adică ecuația $f(x)=y$ are soluție pentru orice $y\in B$ .

Funcția de gradul I

Definiția

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=ax+b$ , cu $a\ne0$ . Graficul este o dreaptă, cu panta $a$ .

Monotonia

a>0 \Rightarrow f \nearrow,\qquad a<0 \Rightarrow f \searrow

Zeroul funcției

x=-\frac{b}{a}

Semnul funcției

f(x)=ax+b:\ \text{semnul lui } a \text{ la dreapta lui } -\tfrac{b}{a}

și semn contrar lui $a$ la stânga rădăcinii

Funcția de gradul al II-lea

Definiția

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=ax^2+bx+c$ , cu $a\ne0$ . Graficul este o parabolă, cu ramurile în sus dacă $a>0$ și în jos dacă $a<0$ .

$\Delta$	Rădăcini	Graficul și axa $Ox$
$\Delta>0$	$\text{două rădăcini reale distincte}$	$\text{taie axa în două puncte}$
$\Delta=0$	$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$	$\text{este tangent la axă}$
$\Delta<0$	$\text{nicio rădăcină reală}$	$\text{nu intersectează axa}$

Discriminantul

\Delta=b^2-4ac

Rădăcinile

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

reale dacă $\Delta\ge0$

Vârful parabolei

V\left(-\frac{b}{2a},\,-\frac{\Delta}{4a}\right)

punct de minim dacă $a>0$ , de maxim dacă $a<0$

Relațiile lui Viète

x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}

Forma descompusă

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Forma canonică

f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}

Extremul

a>0:\ f_{\min}=-\frac{\Delta}{4a};\qquad a<0:\ f_{\max}=-\frac{\Delta}{4a}

Axa de simetrie

x=-\frac{b}{2a}

Imaginea

a>0:\ \operatorname{Im}f=\left[-\tfrac{\Delta}{4a},\infty\right);\quad a<0:\ \left(-\infty,-\tfrac{\Delta}{4a}\right]

Monotonia ( $a>0$ )

\searrow \text{ pe } \left(-\infty,-\tfrac{b}{2a}\right],\quad \nearrow \text{ pe } \left[-\tfrac{b}{2a},\infty\right)

pentru $a<0$ invers

Semnul trinomului

\Delta>0:\ \text{semnul lui } a \text{ în afara rădăcinilor, semn contrar între ele}

$\Delta=0$ : semnul lui $a$ , cu zero în $x_1$ ; $\Delta<0$ : semnul lui $a$ peste tot

Parabola și axa $Ox$

\Delta>0:\ 2 \text{ puncte};\quad \Delta=0:\ \text{tangentă};\quad \Delta<0:\ \text{nu o taie}

Ecuația cu rădăcinile $x_1$ , $x_2$

x^2-Sx+P=0

$S=x_1+x_2$ , $P=x_1x_2$ ; $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$

Semnul funcției: între rădăcini $f$ are semn contrar lui $a$ , în afara lor are semnul lui $a$ . Dacă $\Delta<0$ , $f$ are peste tot semnul lui $a$ .

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.

Exersează exerciții oficiale →