Formule bac: ecuații și inecuații

Definițiile, teoremele și formulele pentru ecuații și inecuații la bacul la matematică (Subiectul I · Ex. 3): Ecuații, cu tabele și formule pe scurt.

Formulele sunt pentru programa M1. La M2 și M3 o parte din ele nu intră: verifică programa sesiunii tale.

Exercițiul 3 din Subiectul I: ecuații iraționale, exponențiale și logaritmice.

De reținut

Scrie întâi condițiile de existență și verifică la final fiecare soluție: ridicarea la pătrat poate adăuga soluții false.

Ecuații iraționale

Condiții

Pentru $\sqrt{f(x)}=g(x)$ trebuie $f(x)\ge0$ și $g(x)\ge0$ . Radicalul de ordin impar nu are condiții.

Radical de ordin 2

\sqrt{f(x)}=g(x)\ \Rightarrow\ f(x)=g(x)^2

Radical de ordin 3

\sqrt[3]{f(x)}=a\iff f(x)=a^3

Doi radicali

\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\iff f(x)=g(x)\ge0

Funcția exponențială

$f(x)=a^x$ , cu $a>0$ , $a\ne1$ . Este bijectivă de la $\mathbb{R}$ la $(0,\infty)$ și ia doar valori pozitive: $a^x>0$ pentru orice $x$ .

Aceeași bază

a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)

Aducerea la aceeași bază

4^x=2^{2x},\qquad \frac{1}{8}=2^{-3}

Baze diferite

a^{f(x)}=b\iff f(x)=\log_a b

pentru $b>0$

Substituția

t=a^x,\quad t>0

obții o ecuație de gradul al II-lea în $t$

Condiția de existență

$\log_a f(x)$ are sens doar dacă $f(x)>0$ (iar baza $a>0$ , $a\ne1$ ).

Același logaritm

\log_a f(x)=\log_a g(x)\iff f(x)=g(x)

Logaritm egal cu un număr

\log_a f(x)=b\iff f(x)=a^b

Substituția

t=\log_a x

pentru ecuații în care apar $\log_a x$ și $\log_a^2 x$

Baza	$a^x$ și $\log_a x$	Sensul inegalității
$a>1$	$\text{strict crescătoare}$	$\text{se păstrează}$
$0<a<1$	$\text{strict descrescătoare}$	$\text{se schimbă}$

La inecuațiile logaritmice ții cont și de condițiile de existență: soluția este intersecția lor cu intervalul obținut.

Ecuația cu sinus

\sin x=a,\ a\in[-1,1]\Rightarrow x=(-1)^k\arcsin a+k\pi

$k\in\mathbb{Z}$

Ecuația cu cosinus

\cos x=a,\ a\in[-1,1]\Rightarrow x=\pm\arccos a+2k\pi

Ecuațiile cu tangentă și cotangentă

\operatorname{tg}x=a\Rightarrow x=\operatorname{arctg}a+k\pi,\quad \operatorname{ctg}x=a\Rightarrow x=\operatorname{arcctg}a+k\pi

$\sin f(x)=\sin g(x)$

f(x)=(-1)^k g(x)+k\pi

și $\cos f(x)=\cos g(x)\Rightarrow f(x)=\pm g(x)+2k\pi$ ; $\operatorname{tg}f(x)=\operatorname{tg}g(x)\Rightarrow f(x)=g(x)+k\pi$

$a\cos x+b\sin x+c=0$

\operatorname{tg}\frac{x}{2}=t:\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}

verifici separat $x=(2k+1)\pi$ , unde $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ nu există

Multe ecuații trigonometrice devin ecuații algebrice cu $\sin^2x+\cos^2x=1$ și $\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$ .

Pune formulele în practică pe subiectele date la examen.